Creo que tienes una muy buena idea, pero la implementación es bastante errónea. Como he señalado en mi comentario, uno de los errores en su trabajo es que no se puede concluir que $|x^3 - 8| \lt \varepsilon$ sólo $x^3 - 8 \lt \varepsilon$. (Ejercicio: ¿puedes ver por qué esto es malo? El problema surge cuando $x$ es menor que $2$, por lo que el $x^3-8$ es, posiblemente a gran número negativo.)
Una forma de remediar la prueba está a la bifurcación en dos casos: $x < 2$$x > 2$. Es decir, se definen dos diferentes umbrales $\delta_+$ $\delta_-$ que trabajar por separado para $x > 2$ $x < 2$ respectivamente; a continuación, el total $\delta$ se define como el menor de los dos.
Ahora vamos a ver la idea en acción. Fijar un $\varepsilon > 0$. Definir $\delta_+ = (8 + \varepsilon)^{1/3} - 2$$\delta_- = 2 - (8 - \varepsilon)^{1/3}$; también se definen $\delta = \min \{ \delta_-, \delta_+ \}$. Tenga en cuenta que $\delta_+, \delta_-$, e $\delta$ son todos estrictamente positivo; la prueba sería incompleto sin esta observación. Ahora
al$2 < x < (2 + \delta_+)$,$0 < x^3 - 8 < \varepsilon$; y
al$(2 - \delta_-) < x < 2$,$- \varepsilon < x^3 - 8 < 0$.
La combinación de estas dos afirmaciones, podemos escribir que siempre $2 - \delta_- < x < 2 + \delta_+$$x \ne 2$,$- \varepsilon < x^3 - 8 < + \varepsilon$. En particular, para$x \in (2 - \delta, 2 + \delta) \smallsetminus \{ 2 \}$,$|x^3 - 8| \lt \varepsilon$. Así, hemos mostró que el límite de $f(x)$ $x \to 2$ es $8$. $\qquad \diamond$
Aunque la prueba es correcta, es bastante insatisfactoria, debido a muchas razones. [Esta lista es bastante subjetivo y vago, así que os recomiendo que no te preocupes si algo no queda claro aquí.]
Este tipo de argumento se basa en cierto sentido, en el hecho de que $f$ es monótona. La monotonía nos permite "invertir" el $\varepsilon$-$\delta$ condición de una manera sencilla. (Por otra parte, es útil que el $f$ tenía un "buen" inverso.) Para muchas funciones, como una simple estrategia no funciona; por lo que a menudo recurren a establecer "límites". El libro de texto de la prueba da un buen ejemplo de este último enfoque.
El truco de la consideración de los lados izquierdo y derecho por separado funciona sólo en una dimensión, es decir, la línea real. No iban a funcionar en más general de espacios como $\mathbf R^2$, por ejemplo. Una vez más, el libro de texto de la prueba podrían generalizar más fácilmente.
En nuestras pruebas, hemos sido capaces de encontrar un adecuado $\delta$ sin invertir demasiado esfuerzo. En contraste, el libro de texto de prueba procede a través de un trivial estimación. Sin embargo, este esfuerzo no totalmente ir de residuos, ya que el autor se las arregla para encontrar una $\delta$ tener una mucho más simple; específicamente, es proporcional a $\varepsilon$. Esta importancia de este punto se hará más evidente una vez que usted aprenda acerca de los derivados, debido a que la derivada de una función en un punto dado, esencialmente se trata de cuantificar la relación $\varepsilon / \delta$ para valores pequeños de a $\delta$.
Veamos el libro de texto de prueba ahora.
El libro de texto de prueba hecho "hacia atrás". Para cualquier polinomio $f$ y para cualquier número real $a$, la diferencia de $f(x) - f(a)$ es divisible por $x-a$. Por lo tanto podemos tener un $x-a$, y escribir $f(x) - f(a)$ como el producto de la $x-a$ y algún otro polinomio. Ya esto sugiere que cuando la $x-a$ es "pequeño", entonces la diferencia de $f(x) - f(a)$ también debe ser pequeña. Sin embargo, para hacer esta intuición precisa, procedemos de la siguiente manera.
En nuestro ejemplo, $f(x) = x^3$$a=2$, por lo que
$$
f(x) - 8 = (x-2) \cdot (x^2 + 2x + 4).
$$
Como se mencionó antes, el $(x-2)$ factor es el responsable de hacer la diferencia $(f(x) - 8)$$0$$x \to 2$. Por otro lado, el segundo factor de $x^2 + 2x + 4$ enfoques $2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 12$$x \to 2$. Inspirado por esta observación, se desea escribir que para $x$ cerca de $2$,
$$
f(x) - 8 \aprox 12 (x-2). \etiqueta{$\dagger$}
$$
Por desgracia, tan intuitivo como parece, esta declaración no es preciso, ni la correcta, porque no podemos evaluar selectivamente sólo uno de los factores en el punto de $x=2$. Sin embargo, esto puede ser solucionado porque nosotros sólo nos preocupamos de establecer un límite superior en el segundo factor al $x$ está cerca de a $2$.
Más precisamente, para que todos los $x \in (1, 3)$, tenemos
$$
|x^2 + 2x + 4| = x^2 + 2x+4 \leqslant 3^2 + 2 \cdot 3 + 4 = 19,
$$
lo que implica que
$$
|x^3 - 8| \leqslant 19|x-2| \etiqueta{$\ddagger$}
$$
para todos los $x \in (1, 2)$. Comparando $(\dagger)$$(\ddagger)$, tenga en cuenta que el lado derecho empeorado ligeramente de$12 |x-2|$$19 |x-2|$, pero esto no es de mucha importancia para nosotros, para los efectos de calcular el límite. Todo lo que quiero es algo de obligado que va a $0$, e $(\ddagger)$ funciona bien.
[[EDITAR: Existe una estrecha conexión con los derivados de aquí. Tenga en cuenta que aunque $(\dagger)$ no hace preciso sentido, la expresión $12(x-2)$ se siente como el "derecho" aproximación a $(f(x)-8)$. En particular, el $19$ $(\ddagger)$ es claramente arbitraria; podríamos haber sustituido por cualquier constante mayor que $12$ ($x$ lo suficientemente cerca de a $2$). De hecho, podemos pensar de $f(x) - 8$ como esencialmente $12(x-2)$, además de un "orden inferior" término de corrección; los derivados de la formalización de esta idea muy bien.]]
Por último, dada la $\varepsilon > 0$, recogemos nuestros $\delta$, de forma que ambas de las siguientes condiciones simultáneamente:
En primer lugar, para nuestro enlazado $(\ddagger)$ a aplicar, queremos que nuestros $x$, se encuentra en el intervalo de $(1, 3)$, lo que requiere de $\delta$ menor que $1$.
$(\ddagger)$ da una cota superior de a$19 |x-2|$$|f(x) - 8|$, por lo que queremos que este límite superior para estar en la mayoría de $\varepsilon$. Esto obliga a la restricción $19\delta \leqslant \varepsilon$.
Por supuesto, se podría satisfacer tanto estas desigualdades mediante la selección de $\delta = \min \{ 1 , \frac{\varepsilon}{19} \}$, que es exactamente la elección hecha por el autor. Ahora es un asunto de cuidado en hacer la prueba de "forwards" para asegurarse de que todo el argumento funciona bien. Dejo esto como un ejercicio.
