Integral de la parte positiva de un movimiento browniano

Question

Deje $X(t)$ ser el estándar de movimiento Browniano, necesito encontrar la distribución de $S=\int_{0}^T(X(t))^+dt$ donde $(x)^+=\max\{0,x\}$.

Quiero usar la distribución para obtener una concentración obligado para $S$. Así que incluso si no podemos encontrar la distribución, aún así, la delimitación de la varianza de $S$ ayuda mucho. Por ejemplo, si puedo vinculado a la varianza, decir $T^3$, entonces puedo usar la desigualdad de Chebyshev para obtener una buena concentración de la envolvente: \begin{align*} \Pr\{|S-E[S]|>k T^{3/2}\} < \frac{1}{k^2} \end{align*}

Ningún resultado en el mismo problema con $S=\int_{0}^T|X(t)|dt$ es también muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Lo más probable es que la distribución no es bonito, pero un decente concentración bound debe ser mucho más fácil. Deje $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ ser convexa y estrictamente creciente. Supongamos que queremos obtener una enlazado en $\mathbb{P}[g(S-\mathbb{E}S)\geq l]$ donde $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^+$ es convexa. El uso de Markov en la desigualdad para obtener

$$ \begin{align} \mathbb{P}[g(S-\mathbb{E}S)\geq l] &= \mathbb{P}[f(g(S-\mathbb{E}S))\geq f(l)]\\ &\leq \frac{\mathbb{E}[f(g(S-\mathbb{E}S))]}{f(l)}\\ &= \frac{\mathbb{E}[f(g(\int_0^T X_t^+-\mathbb{E}X_t^+dt))]}{f(l)}\\ &= \frac{\mathbb{E}[f(g(T\int_0^T X_t^+-\mathbb{E}X_t^+\frac{dt}{T}))]}{f(l)}\\ \end{align} $$

La composición de $f$ $g$ es convexa desde $f$ está aumentando, así, el uso de la desigualdad de Jensen

$$ \begin{align} \mathbb{P}[g(S-\mathbb{E}S)\geq l] &\leq \frac{\mathbb{E}[\int_0^T f(g(T(X_t^+-\mathbb{E}X_t^+)))\frac{dt}{T}]}{f(l)} \end{align} $$

Deje $N$ ser una variable aleatoria normal estándar. Definir $\varphi(m) = \mathbb{E}[f(g(m(N^+-\mathbb{E}N^+)))]$. Entonces

$$ \begin{align} \mathbb{P}[g(S-\mathbb{E}S)\geq l] &\leq \frac{\int_0^T \mathbb{E}[f(g(T(X_t^+-\mathbb{E}X_t^+)))]dt}{Tf(l)}\\ &\leq \frac{\int_0^T \varphi(T\sqrt{T})dt}{Tf(l)}\\ &= \frac{\varphi(T^{\frac{3}{2}})}{f(l)}\\ \end{align} $$

Ejemplo 1

Fix $g(x)=|x|$, que corresponde al problema de la delimitación $\mathbb{P}[|S-\mathbb{E}S|\geq l]$. Elija una función de $f$ y ver lo que une a conseguir. Tomemos, por ejemplo,

$$ \begin{align} f(l) =e^{\frac{l^2}{4T^3}} \end{align} $$

Entonces, de acuerdo a Mathematica,

$$ \begin{align} \varphi(T^{\frac{3}{2}}) &= \mathbb{E}\left[e^{\frac{(N^+-\mathbb{E}N^+)^2}{4}}\right]\\ &= 1.12 \\ &<\infty \\ \end{align} $$ Así $$ \begin{align} \mathbb{P}[|S-\mathbb{E}S|\geq l] = O\left(e^{\frac{-l^2}{4T^3}}\right) \end{align} $$ Si dejamos $l=kT^{\frac{3}{2}}$, luego $$ \begin{align} \mathbb{P}[|S-\mathbb{E}S|\geq kT^{\frac{3}{2}}] = O\left(e^{\frac{-k^2}{4}}\right) \end{align} $$

Ejemplo 2

Deje $g(x) = (-x)\mathbf{1}(x<0)$, que corresponde al problema de la delimitación $\mathbb{P}[\mathbb{E}(S)-S\geq l]$$l\geq 0$. Deje $f(l)=\frac{l}{T^{\frac{3}{2}}}$. Entonces, por Mathematica,

$$ \begin{align} \varphi(m) &= T^{\frac{-3}{2}}\mathbb{E}[m(\mathbb{E}N^+-N^+)\mathbf{1}(N^+-\mathbb{E}N^+<0)]\\ &= T^{\frac{-3}{2}}m\left(\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi }}+\frac{-1+e^{-\frac{1}{4 \pi }}+\frac{1}{2} \text{Erf}\left[\frac{1}{2 \sqrt{\pi }}\right]}{\sqrt{2 \pi }}\right)\\ &= 0.23m T^{\frac{-3}{2}} \end{align} $$

Así

$$ \begin{align} \mathbb{P}[\mathbb{E}[S]-S\geq l]&\leq \frac{\int_0^T\varphi(t\sqrt{T})dt}{Tf(l)}\\ &= \frac{\varphi(1)\int_0^Tt\sqrt{T}dt}{Tf(l)}\\ &= \frac{0.12T^{\frac{3}{2}}}{l} \end{align} $$

Así

$$ \begin{align} \mathbb{P}[\mathbb{E}[S]-S\geq kT^{\frac{3}{2}}]&\leq \frac{0.12}{k} \end{align} $$