noetherian de inducción

Question

Así que creo que he entendido mal el principio de Noetherian de inducción como se indica en la Hartshorne ejercicio II.3.16, o su declaración es incorrecto ligeramente. Él dice: "Vamos a $X$ ser un Noetherian espacio topológico, y deje $\mathscr{P}$ ser una propiedad de subconjunto cerrado de $X$. Supongamos que para cualquier subconjunto cerrado $Y$ $X$ si $\mathscr{P}$ mantiene adecuada para cada subconjunto cerrado de $Y$, $\mathscr{P}$ mantiene para $Y$. (En particular, $\mathscr{P}$ debe ser para el conjunto vacío.) A continuación, $\mathscr{P}$ mantiene para $X$."

¿Por qué $\mathscr{P}$ presionado por el conjunto vacío? Lo que si $\mathscr{P}$ es la propiedad de ser no vacío y $X = \varnothing$?

Answer 1

$\mathscr P$ mantiene para el conjunto vacío $\varnothing$ porque contiene para cada apropiado subconjunto cerrado de $\varnothing$.

Usted no debe dejar que el hecho de que no hay ningún adecuada subconjunto cerrado de $\varnothing$ confunda!

Answer 2

Es igual de Mariano dice.

La situación aquí es completamente análogo al hecho de que si uno quiere demostrar que un enunciado es verdadero para todos los números naturales por una fuerte inducción (o, más generalmente, para una familia de valores indexados por un conjunto ordenado) entonces, lógicamente hablando, uno no tiene a una sola "caso base" $P(0)$, debido a la inducción de paso nos permite deducir $P(0)$ $P(n)$ todos los $n < 0$, de los cuales hay ninguna.

Muchas otras personas han encontrado este confuso. (Creo que llegó en un MO pregunta por Bjorn Poonen un tiempo atrás, lo cual no significa que él estaba confundido por ella!) En la práctica, este pequeño lógica de filigrana no parece guardar cualquier momento: usted todavía tiene que saber cómo demostrar a $P(0)$ suponiendo que nada, y el argumento para esto es por lo general bastante diferentes y a menudo más fácil que la inducción general de la etapa(s).

Añadido: Simplemente colocar la última carta sobre la mesa, este "Noetherian inducción" es realmente aprovechando el hecho de que (por definición) un espacio topológico es Noetherian iff sus conjuntos cerrados satisfacer la Descendente de la Cadena de la Condición, que en el orden teórico de los términos se expresa diciendo que la contención de la relación entre los subconjuntos cerrados es un bien fundado de orden parcial (o a veces "bien-orden parcial"). Un orden parcial $(X,\leq)$ está bien fundada si cada subconjunto no vacío tiene un mínimo elemento y esto muestra que un subconjunto $Y$ $X$ con la propiedad:

$\forall x \in X \ (\forall y \in X, y < x \implies y \in Y) \implies x \in Y$

debe ser todos los de $X$: si no, considere el menor elemento de a $X \setminus Y$.

Answer 3

Creo que la respuesta está oculta en la profundidad de la "vacuously verdadero argumento".

Un argumento de la forma $\forall x\varphi$ es verdadera si y sólo si no es $x$ tal que $\lnot\varphi(x)$.

Un ejemplo a menudo he utilizado con mis alumnos "Si estoy bebiendo una cerveza durante la clase, a continuación, que son todos los elefantes" (o algo similar a lo largo de estas líneas, por lo general incluyendo el alcohol de algún tipo, y un ridículo vinculación). No importa de que estoy hablando con la gente, porque ahora soy permitió beber alcohol durante la clase (como un profesor/TA de todos modos).

Si decimos que $P(x)$ mantiene para $x$ si para todas las $y<x$ tiene $P(y)$. En este caso, $<$ es adecuada la inclusión de subconjuntos cerrados; ya que no hay adecuada de los subconjuntos de un conjunto vacío, el argumento de $P(x)$ mantiene para $\varnothing$ vacuously, como en el anterior.