Ayuda para evaluar complicado integral de la $\int \dfrac 1 {x^n-x} dx$

Question

Tengo este complicado integral para evaluar :

$$\int \dfrac 1 {x^n-x} dx$$

Yo estoy luchando para evaluar esto.

Mi intento :

$$\int \dfrac1x \cdot \dfrac 1 {x^{n-1}-1} dx$$ Ahora, trato de aplicar la integración por partes. Por eso, yo uso : $V=\large\dfrac1x$ $U=\large\dfrac 1 {x^{n-1}-1}$

Pero, eso no me lleva a cualquier parte. Sólo me da un complicado aún más la expresión a evaluar..

Ayuda se agradece.. Gracias..

Answer 1

Sugerencia :

Sea I=$\large\int \dfrac 1 {x^n-x} dx$

I=$\large\int \dfrac 1{x} \cdot \dfrac 1 {x^{n-1}-1} dx$

I=$\large\int \dfrac {x^{n-2}}{x^{n-1}} \cdot \dfrac 1 {x^{n-1}-1} dx$

vamos $\large x^{n-1}=t$ $\implies dt=\big(n-1)x^{n-2}\ dx$

así, I=$\large \dfrac{1}{n-1}\cdot \int \dfrac {dt}{t\cdot (t-1)} $

el uso parcial de las fracciones de ahora..

Estás hecho!!

Answer 2

$$\int\dfrac{1}{x^n-x}\mathrm{d}x=\int\dfrac{1}{x^n\left(1-\dfrac{1}{x^{n-1}}\right)}\mathrm{d}x$$

Ahora subs. $\dfrac{1}{x^{n-1}}=t\implies \mathrm{d}t=-\dfrac{(n-1)}{x^n}\mathrm{d}x$

De ahí su integral se convierte en $$\dfrac{1}{(n-1)}\int\dfrac{\mathrm{d}t}{t-1}$$