Buscando un truco para solucionar $2\sqrt {2x}+\sqrt {2x+3}=\sqrt {3x+2}+\sqrt {6x+20}$

Question

Considere la ecuación:

$$2\sqrt {2x}+\sqrt {2x+3}=\sqrt {3x+2}+\sqrt {6x+20}.$$

Encontrar un truco ( si existe ) que permite resolver elegantemente decir, evitar la sistemática de la cuadratura.

(La sistemática de la escuadra que, inevitablemente, conduce a un cuarto grado de la ecuación:

$$ \begin{align} 0 &= 207x^4-12564x^3+27738x^2+231084x-40401\\[6pt] &=9\left( 23x^2-1258x-4489\right) \left( x^2-6x+1\right)\;, \end{align} $$ así que la respuesta es $$x=\dfrac {629+\sqrt {498888}} {23}.$$

Answer 1

1. Este equasion se define para todos los $x>0$.

2. La función en el lado izquierdo es estrictamente creciente (i.e siempre en aumento).

3. La función en el lado derecho es estrictamente creciente (i.e siempre en aumento).

Podemos dibujar un gráfico simple en gran escala, pero con la baja de prescision, para saber donde buscar esta raíz. Vamos a ver en el gráfico que hay 1 intersección. Porque ambas funciones estrictamente creciente, no habrá otras raíces para $x>0$.

Usted puede utilizar este o cualquier otra herramienta para dibujar dos gráficos de la izquierda y la mano derecha de funciones.

A partir de ese gráfico vamos a ver que $x \in (58.02 , 58.08)$. Usted puede obtener el decimal de la respuesta dependiendo de la prescision requerido por incrasing prescision de intervalo de extremos.