Un problema de J. E. Littlewood

Question

Hace muchos años, he cogido un poco de libro de J. E. Littlewood y estaba desconcertado por parte de una pregunta que plantea:

"Es posible que en el 3-espacio para siete infinito circular cilindros de radio de la unidad cada tocar todos los demás? El siete es el número sugerido por contar constantes."

Es el bit en cursiva que me desconcertó entonces (y aún lo hace). ¿Alguien puede explicar cómo se obtiene 7 por "el cálculo de las constantes"?

P. S. Para la integridad, el libro es "Algunos de los problemas Reales y Complejos Análisis" (1968)

Answer 1

Aquí está mi opinión: Hay $4$ grados de libertad en la selección de la línea central de cada uno de los cilindros, para un total de $4n$ grados de libertad. Restar de este $6$ grados de libertad dado por la distancia Euclídea de las mociones (rotaciones y traslaciones en el espacio), tal como se aplica al total de la configuración para un total de $4n-6$ grados de libertad.

Para dos cilindros de tocar, la distancia mínima entre puntos en sus respectivos centro de las líneas debe ser de $2 dólares. Esto se traduce en $\binom{n}{2}$ de ecuaciones. Para ser capaz de satisfacer todas estas ecuaciones, se debe probablemente tiene $4n-6\ge\binom{n}{2}$, que vale para $n\le7$.