Cómo calcular homotopy clases de mapas en la 2-toro?

Question

Deje $\mathbb T^2$ ser la 2-Toro y deje $X$ ser un espacio topológico.

Es allí cualquier manera de calcular $[\mathbb T^2,X]$, el conjunto de homotopy clase de continuo mapas de $\mathbb T^2\to X$ si sé, por ejemplo, la homotopy grupos de $X$?

En realidad, estoy interesado en el caso de $X=\mathbb{CP^\infty}$. Me gustaría clasificar a $\mathbb T^1$-principales paquetes de más de $\mathbb T^2$ ($\mathbb T^2$- director de paquetes, pero esto se desprende fácilmente.)

Answer 1

(Descargo de responsabilidad. La versión anterior de esta respuesta contenida grave error: no tomar en cuenta la no trivialidad de la acción de $\pi_1$$\pi_2$.)

La reclamación. El conjunto $[\mathbb T^2,X]_*$ (de punta mapas) se pueden identificar con el conjunto de $$\{(a,b)\in\pi_1(X)^2|ab=ba\}\times\pi_2(X)/\langle t-t^a,t-t^b\mid t\in\pi_2\rangle,$$ donde $(-)^\gamma$ denota la acción de la $\pi_1$$\pi_n$.

Y si $\pi_1$ actos trivialmente en $\pi_2$, $[\mathbb T^2,X]_\ast\approx\{(a,b)\in\pi_1(X)^2|ab=ba\}\times\pi_2(X)$. En particular, si $\pi_1(X)=0$, $[\mathbb T^2,X]_\ast=[\mathbb T^2,X]\cong\pi_2(X)=H_2(X)$.

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Prueba (boceto). De hecho, el paralelo y el meridiano de $\mathbb T^2$ se asigna a un par de elementos de a $\pi_1(X)$ y el 2 de células del toro mapas a null-homotopy de $aba^{-1}b^{-1}$, pero homotopies entre loop y algunos otros null-homotópica de bucle puede ser identificado (no canónicamente!) con $\pi_2(X)$.

Vamos a ver si este elemento de $\pi_2$ está bien definido. Si nos movemos $a$ por parte de algunos (en punta) homotopy $t$ (que puede ser una vez más identificado con un elemento de $\pi_2$), obtenemos $s'=s+t-t^b$ (en particular, si bien tanto en $a$ $b$ son triviales o $\pi_1(X)$ actos trivialmente en $\pi_2(X)$, el elemento $s$ está bien definido).

/* Esta clase de primaria obstrucción de la teoría (cf.) puede ser aplicado, creo que, para cualquier 2-dimensional de CW-complejo de $S$ dar (en el caso de $\pi_1(X)$ actos trivialmente en $\pi_2(X)$) $[S,X]\approx H^1(S;\pi_1(X))\times H^2(S;\pi_2(X))$. Pero en dimensiones superiores, la situación se vuelve más complicada. */

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Así, por ejemplo, $$[\mathbb T^2,\mathbb CP^\infty]\cong\pi_2(\mathbb CP^\infty)\cong\mathbb Z.$$ Pero, digamos, $$[\mathbb T^2,\mathbb R P^2]_\ast\cong(\mathbb Z/2)^2\times\mathbb Z/{\sim}\cong\{(0,0)\}\times \mathbb Z\sqcup\{(0,1),(1,0),(1,1)\}\times\mathbb Z/2$$ (si el elemento de $\pi_1^2$ es trivial, el elemento de la $\pi_2$ sólo se define mod 2; y en el no-señaló el caso de todos los $\mathbb Z$ se $\mathbb N$; ref).

Answer 2

Esta es una buena oportunidad para anunciar el papel

Ellis, G. J. Homotopy clasificación de la J. H. C. Whitehead. De la exposición. De matemáticas. 6(2) (1988) 97-110.

Graham Ellis se refiere a Whitehead papel de la "Combinatoria Homotopy II", no tan bien leer como "Combinatoria Homotopy yo".

Él escribe:" hace Casi 40 años J. H. C. Whitehead mostró en \cite{W49:CHII} que, para la conexión de la $CW$-complejos de $X, Y$ con dim $X \le n$ $\pi_i Y = 0$ $2\le i \le \ n - 1$ , el homotopy clasificación de los mapas de $X \to Y$ puede ser reducido a una pura algebraicas problema de la clasificación, hasta llegar a una adecuada noción de homotopy, el $\pi_1$-equivariant de la cadena de homomorphisms $C_* \widetilde{X} \C_* \widetilde{Y}$ entre el celular de los complejos de la cadena de la universal cubre. La clasificación de homotopy equivalencias $Y \simeq de$ Y puede asimismo ser reducido a un hecho puramente algebraica problema. Por otra parte, el álgebra de los celulares de las cadenas de la universal cubre refleja fielmente la topología, y ofrece un agradable y interesantes ejercicios.

"Estos resultados deberían ser una pieza estándar de la algebraicas elementales topología. Sin embargo, tal vez porque de algo esotérico de la exposición dado en \cite{W49:CHII}, y tal vez debido a una falta de trabajado ejemplos, que han permanecido en gran parte ignorado. El propósito de la el presente documento es para rectificar esta situación."

Answer 3

Si se desea calcular el $[\mathbb T^2,\mathbb CP^\infty]$, tal vez, es más fácil utilizar la clasificación de los mapas de a $\mathbb CP^\infty$ lugar: $[X,\mathbb CP^\infty]=H^2(X)$; por lo $[\mathbb T^2,\mathbb CP^\infty]=H^2(\mathbb T^2)=\mathbb Z$.