La dualidad de un finitely generado módulos proyectivos

Question

Deje $M$ $N$ ser un finitely generado proyectiva módulo a través de un anillo de $R$. Supongamos que tenemos un no degenerados de emparejamiento bilineal $\langle \ \cdot \ ,\ \cdot\ \rangle: M \times N \to R$.

Quiero mostrar a $M$ es isomorfo a la doble $N^*$$N$.

La inyectividad de $M$ a $N^*$ sigue de la no degeneración de la vinculación por definiting un mapa de $x \mapsto \langle x, \cdot\rangle$. Lo que no puedo demostrar que es surjectivity.

Si me imponer una condición que $R$ es un inyectiva módulo, a continuación, creo que surjectivity también de la siguiente manera. Pero quiero probarlo sin ningún tipo de condición en $R$

Cualquier ayuda es appriciated.

Answer 1

Si por no degenerada te refieres a que $\langle x , - \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (o $\langle - , y \rangle \Leftrightarrow y = 0$), su pregunta es equivalente a: Es cada inyectiva homomorphism entre finitely generado proyectiva $R$-módulos de un isomorfismo? La respuesta es no, incluso para los mapas de $R \to R$.

Si por no degenerada te refieres a que $\langle x , - \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0$ e $\langle - , y \rangle \Leftrightarrow y = 0$, entonces la pregunta es equivalente a: Si $M \to N$ es un inyectiva homomorphism de f.g. proj. módulos que $N^* \to M^*$ también es inyectiva, entonces $M \to N$ es un isomorfismo. Pero de nuevo esto es falso para los mapas de $R \to R$.

La "correcta" de la definición de un perfecto maridaje $M \times N \to R$ es la siguiente: Tanto los mapas de $M \to N^*$ $N \to M^*$ son isomorphisms.