Un complejo mapa con "limitado" derivado es inyectiva

Question

El ejercicio que intenta resolver establece: "que $\,f\,$ ser analítico en $\,D:=\{z\in\mathbb{C}\;|\;|z|<1\}\,$ , y de tal manera que $$|f'(z)-1|<\frac{1}{2}\,\,\,\forall\,z\in D$$

Demostrar que $\,f\,$$\,1-1\,$$\,D\,$.

Mis pensamientos: La condición de $$|f'(z)-1|<\frac{1}{2}\,\,\,\forall\,z\in D$$

significa que el rango de la analítica de la función $\,f'\,$ pierde muchos puntos en el plano complejo, por lo que la aplicación del Teorema de Picard (o alguna extensión de Liouville) obtenemos que $\,f'(z)=w=\,$ constante, del que se desprende que $\,f\,$ es lineal en $\,D\,$ e lo $\,1-1\,$ no.

Dudas: $\,\,(i)\,\,$ Este ejercicio está destinado a ser desde un primer curso introductorio en funciones complejas, por lo que del teorema de Picard parece una exageración aquí...sin embargo yo no puedo ver cómo evitarlo.

$\,\,(ii)\,\,$ , Incluso suponiendo que debemos uso del Teorema de Picard, las versiones de que sé que siempre hable de "todo", las funciones, sin embargo, nuestra función de $\,f\,$ anterior es analítica sólo en el abierto de la unidad de disco. Es esto un problema? Quizás es y por lo tanto algo debe ser...?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Hay una muy similar respuesta aquí (siéntase libre de ignorar la pregunta de si se ve intimidante). La idea básica es utilizar la desigualdad de triángulo aplicado a $f(z)-z$ que $|f(x)-f(y)| > 0$ cualquier $x,y$. Más precisamente su suposición nos permite mostrar a $|f(x)-f(y)| \ge \frac12 |x-y|$.

Answer 2

Utilice el hecho de que el inverso de a $f$ es holomorphic en cada disco centrado en algunos de los $w_0 \in f(D)$ desde $$ \lim_{w \a w_0} \frac{f^{-1}(w) - f^{-1}(w_0)}{w} {- w_0} = \lim_{z \a z_0} \frac{z - z_0}{f(z) - f(z_0)} \\frac{1}{f'(z_0)}, $$ y la condición de $|f'(z)-1| < \frac 12$ asegura que $f'(z_0) \neq 0$. Por lo tanto, $f$ es inyectiva. Si usted llena los espacios en blanco esto es todo lo que usted necesita.

EDIT : Sí... pensé que lo tenía. Pero como los comentarios dio cuenta de que yo no creo que mi planteamiento es tan sencillo. Como se pide, voy a llenar algunos espacios en blanco que pensé ayudado. Recordemos que $$ \frac 1{2\pi i} \int_C \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz = Z_f - P_f $$ para una función de meromorphic, $Z_f$ permanente para el número de ceros de $f(z)$ en el interior de $C$ $P_f$ el número de polos (asumiendo que no hay ceros/polos en el contorno). Ya que en nuestro contexto la función es analítica, es en particular holomorphic, por lo tanto no tiene polos a lo largo del $D$, por lo que esta integral, se cuenta el número de ceros. Deje $z_0 \in D$, y en la integral anterior, defina $N(w)$ sustituyendo $f(z)$ por encima de por $f(z) - w$ :
$$ N(w) = \frac 1{2 \pi i} \int_{C_r} \frac{f'(z)}{f(z) - w} \, dz $$ donde $C_r$ representa por un círculo lo suficientemente pequeño radio alrededor de $z_0$ (lo suficientemente pequeño como para que $N(f(z_0)) = 1$), por lo que la integral se cuenta cuántas $z$ son tales que $f(z) = w$ lo suficientemente cerca como para $z_0$. Se puede demostrar que los $N(w)$ es continua, de modo que desde $N(f(z_0)) = 1$, $N(w) = 1$ por la continuidad de todos los $w$ tal que $|w-f(z_0)| < r$. Esto significa $f$ es localmente inyectiva, y por otra parte $f(D)$ está abierto desde $|f'(z) - 1| < 1/2$ implica $f'(z) \neq 0$, por lo tanto $f(z)$ no es constante (este sería el único caso en que $f(D)$ no abrir).

Espero que ayude,