Conjunto que contiene conjunto que contiene conjunto que contiene...

Question

Me preguntaba si alguien sabe si en ZFC (o cualquier otra teoría de conjuntos) si el objeto, $$\Bigg\{ \Big\{ \big\{ \{ \cdots \} \big\} \Big\} \Bigg\}$$ puede existir. Es decir, es el conjunto que contiene al conjunto que contiene al conjunto que contiene... ad infinitum. ¿Es esto siquiera un conjunto? ¿Tiene sentido hablar de algo así? Es simple curiosidad.

Answer 1

En axioma de fundamento (o regularidad) prohíbe explícitamente su conjunto. Este axioma es independiente de los otros axiomas de ZFC y, dependiendo de su punto de vista, es sólo una conveniencia técnica o un axioma de prohibición de monstruos. Los partidarios de teoría de conjuntos no bien fundada como estos monstruos.

Para ver por qué su conjunto da lugar a una violación del axioma de fundamento, tenga en cuenta que (como se explica en la página de la wikipedia), el axioma de fundamento implica que la relación de pertenencia está bien fundada: es decir, no existe una secuencia infinita de conjuntos $A_1, A_2, \ldots$ tal que $A_1 \ni A_2 \ni A_3 \ldots$ pero su conjunto da lugar a tal secuencia.

Answer 2

Depende mucho de cómo se trate el informal "..." y las palabras ad-infinitum. La respuesta corta es que la notación no es lo suficientemente clara como para responder si se trata de un conjunto o de una clase.

Si defines tu constructo como "una cosa que tiene la propiedad de tener 1 elemento, que es ella misma", has construido una clase, no un conjunto, porque un conjunto no puede tener esas propiedades en la mayoría de las teorías de conjuntos.

En cambio, si se construye utilizando una secuencia S que empieza por $S_0=\emptyset$ y se construye recursivamente según $S_{n+1}=\{S_n\}$ y define lo que quieres ser $S_\omega$ entonces lo que estás construyendo no está tan lejos de la construcción estándar de la teoría de conjuntos de los números naturales ( $S_{n+1}=S_n \cup \{S_n\}$ )