En primer lugar, considere la posibilidad de $Y = \Bbb{CP}^\infty \times S^1$. Su cohomology anillo de más de $\Bbb Z/2 =: \Bbb F$ $\Bbb F[a] \otimes \Lambda[c]$ donde$|a| = 2$$|c| = 1$. El Bockstein homomorphism puede ser visto para ser trivial (como usted dice, celulares cohomology hace el truco), y por lo tanto así es $\text{Sq}^1$. Ahora $\text{Sq}^2(ac) = \text{Sq}^2(a)c + \text{Sq}^1(a)\text{Sq}^1(c) + a\text{Sq}^2(c)$; debido a $|c| = 1$ el último término se desvanece, y ya hemos hablado de por qué el mediano plazo se desvanece; porque $|a| = 2$, $\text{Sq}^2(a) = a^2$. Por lo tanto $\text{Sq}^2(ac) = a^2c$. Si $X$ es el segundo espacio, el cociente mapa de $p: Y \to X$ induce una inyección de $H^*(X) \to H^*(Y)$, el envío de $p^*(a) = a$$p^*(b) = ac$. Por lo tanto, por connaturalidad de Steenrod plazas $\text{Sq}^2(b) = ab$.
Ahora considere el $\Bbb{CP}^\infty \times S^3$. Queremos calcular el $\text{Sq}^2(b)$ aquí. La inclusión $S^2 \times S^3 \hookrightarrow \Bbb{CP}^\infty \times S^3$ induce un isomorfismo en cohomology en grados $\leq 5$, así que por connaturalidad sólo necesitamos entender lo $\text{Sq}^2(b)$ es en el primer espacio.
Un producto $X \times Y$ de los espacios con trivial Steenrod plazas ha trivial Steenrod plazas. Primera nota de que debido a Steenrod plazas son aditivos, es suficiente para ver cómo la plaza de comportarse en los elementos en $H^i(X) \otimes H^j(Y) \subset H^{i+j}(X \times Y)$; y, a continuación, por el Cartan fórmula basta de forma inductiva, a ver que se desvanecen en $H^i(X)$$H^i(Y) \subset H^i(X \times Y)$. Ahora invocar la proyección de los mapas de $\pi: X \times Y \to X$; por la desaparición de la Steenrod plazas en $X$ y connaturalidad, se desvanecen en estos primitivos clases en $X \times Y$.
Alternativamente, sabemos que la Steenrod plaza de viajes con la suspensión del isomorfismo $H^*(S^2 \times S^3) \to H^{*+1}(\Sigma(S^2 \times S^3))$. Como se ve aquí, $\Sigma(X \times Y)$ es homotopy equivalente a $\Sigma X \vee \Sigma Y \vee \Sigma(X \wedge Y)$. En este caso, se dice que el $\Sigma(S^2 \times S^3)$ es homotopy equivalente a $S^3 \vee S^4 \vee S^6$. Este espacio ha de fuga Steenrod plazas, como lo hace cualquier cuña de espacios de fuga Steenrod plazas. (Esto es, de nuevo, por connaturalidad, porque tenemos los mapas de proyección $X \vee Y \to X$.)
He aquí un enfoque alternativo que Hatcher definitivamente no fue su intención, invocando el carácter de las clases de suave colectores; usted puede aprender acerca de estos en Milnor y Stasheff del libro sobre el tema.
De nuevo queremos calcular el $\text{Sq}^2(b)$$S^2 \times S^3$. Ahora, en un circuito cerrado conectado el colector, hay cohomology clases llamado Wu clases, de tal manera que para $x \in H^{n-k}(M)$, $\text{Sq}^k(x) = x \smile v_k$. Están relacionados con la Stiefel-Whitney clases del colector en que $\text{Sq}(v) = w$. Ahora, $S^2 \times S^3$ es parallelizable, de modo que todas sus Stiefel-Whitney clases de desaparecer. Esto implica que $v=0$, y por lo tanto, todos los Steenrod plazas en este colector (o cualquier parallelizable colector) desaparecen. De dónde $\text{Sq}^2(b) = 0$, como se desee.
En cualquier caso, ahora hemos visto que $\text{Sq}^2(H^3(X)) \neq 0$, pero $\text{Sq}^2(H^3(\Bbb{CP}^\infty \times S^3)) = 0$, lo que demuestra el deseado de reclamación.
