¿Qué perdemos al pasar de los números reales a los complejos?

Question

Como álgebras de división normalizada, cuando pasamos de los números complejos a los cuaternarios, perdemos la conmutabilidad. Al pasar a los octones, perdemos asociatividad. ¿Hay alguna propiedad análoga que perdemos al pasar de los números reales a los complejos?

Answer 1

La propiedad más obvia que perdemos es el orden lineal (o total) de la línea real.

Answer 2

Perdemos la igualdad del complejo conjugado y el orden total.

Así que..: $x+i y \ne x-i y$ para los números complejos que no son también reales.

Y no puedes decir si $ i > -i $ o $i < -i$ etc.
Todo lo que tienes es la magnitud que, en el ejemplo dado, es igual.