Sistema de $a+b+c=4$, $a^2+b^2+c^2=8$. encontrar todos los posibles valores de $c$.

Question

$$a+b+c=4$$$$a^2+b^2+c^2=8$$

No estoy seguro de si mi solución es buena, ya que yo no tengo respuestas para este problema. Las instrucciones, observaciones y/o correcciones que se agradece.

Es obvio que $\{a,b,c\}\in[-\sqrt8,\sqrt8]$. Desde dos números irracionales dar siempre un número irracional cuando se añade, si asumimos que uno de $a,b $ o $c$ es irracional, por ejemplo,$a$, luego uno más tiene que ser irracional, por ejemplo,$b$, de tal manera que $a=-b$. Que deja a $c=4$ con el fin de satisfacer la primera ecuación, pero que hace que el segundo incorrecta. Por eso, todos los $a,b,c$ tienen que ser números racionales. $(*)$

Yo el cuadrado de la primera ecuación y consiguió $ab+bc+ca=4$. Entonces, desde el $a=4-(b+c)$, tengo ecuación cuadrática $b^2+(c4)b+(c-2)^2=0$. Su discriminante tiene que ser positiva y cuadrado perfecto para satisfacer $(*)$. $$ D= -c(3c-8) $$ A partir de esto, podemos ver que $c$ tiene que ser entre el $0$ $8/3$ a fin de satisfacer la definición de raíz cuadrada. Especialmente, para $c=0$ obtenemos $D=0$ y la solución de la ecuación de $b=\frac{-c+4}{2}=2$. Dado que el sistema es simétrico, también conseguimos $c=2$. Similares, para $c=8/3$ obtenemos $b=2$.

En orden para $D$ a ser cuadrado perfecto, uno de los siguientes tiene que ser cierto: $$ -c=3c-8 $$ $$ c=n^2 \land 3c-8=1 $$ $$ 3c-8=n^2 \land c=1 $$

Sin embargo, sólo el primero es posible, por lo $c=2$, y para los que llegamos $b=\frac{(-2+4\pm2)}{2} \Rightarrow b=2 \lor b=0$.

Así, todos los valores posibles para $c$$c\in\{0, 2, \frac{8}3\}$.

EDIT: Para $a=b$, hay una solución: $c=2/3$. Por qué no puedo encontrar es con el método descrito anteriormente?

Answer 1

Vamos a mostrar que cualquier $c$ en el intervalo cerrado $[0,8/3]$ es alcanzable, y nada más. Deje $c$ ser cualquier número real, y supongamos $a$ $b$ son números reales tales que a $(a,b,c)$ satisface nuestras dos ecuaciones. Tenga en cuenta que, en general, $$2(a^2+b^2)-(a+b)^2=(a-b)^2\ge 0. \qquad\qquad(\ast)$$ Poner $a^2+b^2=8-c^2$$a+b=4-c$. Así, a partir de $(\ast)$, $$2(8-c^2)-(4-c)^2 =(a-b)^2\ge 0. \qquad\qquad(\ast\ast)$$ Así que debemos tener $8c-3c^2\ge 0$. Esto sólo es cierto para $0\le c \le 8/3$.

Ahora se demuestra que cualquier $c$ en el intervalo de $[0,8/3]$ es alcanzable. Queremos hacer de $(a-b)^2=8c-3c^2$. Si $c$$[0,8/3]$,$8c-3c^2\ge 0$, así que podemos tomar la raíz cuadrada, y obtener $$a-b=\pm\sqrt{8c-3c^2}.$$ Ahora podemos resolver el sistema $a-b=\pm\sqrt{8c-3c^2}$, $a+b=4$ para encontrar los valores de $a$$b$. Podemos también dar las soluciones $(a,b,c)$ explícitamente. Son $$a=2\pm \frac{1}{2}\sqrt{8t-t^2}, \qquad b=2\mp \frac{1}{2}\sqrt{8t-t^2},\qquad c=t,$$ donde $t$ es un parámetro que varía en el intervalo de $0\le t\le 8/3$. Hay algo ligeramente feo en la anterior solución general, ya que se rompe la simetría. Que puede ser corregido.

Comentario: es quizás interesante preguntarse ¿cuáles son los posibles valores de $c$ bajo las condiciones $c\ge a$, $c\ge b$. Por supuesto que todavía debe tener $c\le 8/3$.

Por $a$, $b$, y $c$, mirar el monic polinomio cúbico $P(x)$ cuyas raíces son $a$, $b$, y $c$. Entonces $$P(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc.$$ Se encontró que el $ab+bc+ca=4$. Así que nuestro polinomio tiene la forma $$P(x)=x^3-4x^2+4x-p,$$ donde $p$ es el producto de las soluciones. A partir de nuestro trabajo anterior sabemos que las soluciones son $\ge 0$, lo $p\ge 0$. La derivada de $P(x)$$3x^2-8x+4$, que se desvanece en$x=2/3$$x=2$. Por lo $P(x)=0$ tiene una solución en el intervalo de $[0, 2/3]$, una solución en el intervalo de $[2/3,2]$, y una solución en el intervalo de $[2,8/3)$ (no puede haber una doble raíz en $2/3$ o a $2$). Así, al menos, uno de $a$, $b$, $c$ es $\ge 2$.

Deje $c$ ser una máxima de la raíz. Podemos tener $c=2$ (vamos a $a=0$, $b=2$), y podemos tener $c=8/3$ ($a=b=2/3$). Por la continuidad, o de cálculo, uno puede ver que para cualquier $c$ en el intervalo de $[2,8/3]$, $a$ $b$ tal que $(a,b,c)$ es una solución de nuestro sistema, y $c\ge a$, $c\ge b$.

Answer 2

Todos los puntos están dados por $$ \left( \frac{4}{3}, \; \frac{4}{3}, \; \frac{4}{3} \; \right) + \frac{\sqrt{12}}{3} \; \left(1, \; -1, \; 0 \; \right) \; \cos t + \frac{2}{3} \; \left(1, \; 1, \; -2 \; \right) \; \sin t $$ where the points with a zero and a pair of 2's occur at $t = \frac{\pi}{2},\frac{7 \pi}{6},\frac{11 \pi}{6}, $ y el tercer componente está dado por $$ \frac{4}{3} (1 - \sin t) $$ which varies between $0$ and $\frac{8}{3},$ the latter happening at $t = \frac{3\pi}{2}.$