Superficie de un toro

Question

Se puede generar un toro de la siguiente manera: $\vec {g}=((b+a \cos u) \cos v, (b+a \cos u) \sin v, a \sin u)$ . Para encontrar su área, podemos usar una superficie integral de la forma $S= \iint_ {D_{uv}} { \lVert \frac {∂g}{∂u} \times \frac {∂g}{∂v} \rVert \, du \, dv}$ . Sin embargo, en el caso del toro la integral se vuelve aparentemente innecesariamente tediosa de evaluar. ¿Existen enfoques más agradables para evaluar la superficie usando una integral de superficie ?

Answer 1

$$\frac{\partial\vec{g}}{\partial u}=(-a\sin u\cos v, -a\sin u\sin v, a \cos u),$$

$$\frac{\partial\vec{g}}{\partial v}=(-(b+a\cos u)\sin v, (b+a\cos u)\cos v, 0).$$

Sin sorpresa, estos dos vectores son ortogonales, y la norma de su producto cruzado es el producto de sus normas, $a(b+a\cos u)$ .

Integrar en $u,v$ ambos en el rango $[0,2\pi]$ Observando que el valor medio del coseno es cero, se obtendrá $$(2\pi)^2ab.$$ Nada realmente tedioso.

Answer 2

Otra forma de proceder sería escribir la integral de superficie utilizando formas diferenciales. Para ello es necesario establecer una carta y un sistema de coordenadas en el Torus. Afortunadamente sólo necesitamos una carta y el sistema de coordenadas puede hacerse global (utilizando las coordenadas ya introducidas en la pregunta $u,v$ ), la integral de superficie será

$$S=\int_{M} ab~ du \wedge dv$$ La integración se realiza en el rango de coordenadas de la cubierta abierta $M=T^2$ Es decir $u \in [0, 2\pi], ~v \in [0, 2\pi]$ lo que lleva a

$$S= ab \int_0^{2\pi}du \int_0^{2\pi} dv = 4\pi^2 ab$$

Answer 3

Utilice el teorema de Pappus. Si el radio de la sección transversal del toro es $r$ entonces su perímetro es $2\pi r$ y el teorema de Pappus establece que la superficie del toro (es una superficie de revolución) es igual a $A=2\pi r \cdot 2 \pi R$ donde $R$ es el radio de rotación que genera el toroide. En su caso es

$$A = 4\pi^2 ab$$

Answer 4

Eligiendo un sistema de coordenadas toroidales el cálculo del área es, en mi opinión, de lo más sencillo. Sin embargo, un híbrido entre el sistema de coordenadas esférico y el cilíndrico.

Que el radio en la corona sea $b$ , $R$ radio del tubo, $r$ radio variable del sistema de coordenadas del cilindro, y $\phi$ la latitud del sistema esférico. Área del toroide =

$$\int_{b-R}^{b+R} \int_{-\pi}^{ \pi} R\, d\phi \cdot 2 \pi\, dr = 2 \pi R \int_{-\pi} ^{ \pi} ( b- R \cos \phi) d \phi = 2 \pi R \cdot 2 \pi b.$$

Esto es esencialmente la generación de superficie por rotación utilizando el teorema de Pappu.

Answer 5

Puedes calcular la superficie de un toroide de la siguiente manera: Imagina que cortas un toro verticalmente a través de una parte del tubo para crear una sección transversal. Ahora, $ds$ es igual a $rd\theta$ porque $R$ (el radio del tubo) y $r$ (el radio interior) son constantes para cualquier particular toroide.

Dejemos que $A_i$ sea el área de la superficie interior del toro, más cerca del centro, que del lado lejano.

Dejemos que $A_o$ sea la zona más alejada del centro del toro (es decir, el lado más alejado).

Así que el área total del toro es $$A = A_i + A_o$$ Ahora, dejemos que $s$ sea la longitud del arco, y $\theta$ medido en radianes.

$$s = r(\theta )$$ Rendimientos diferenciados, $$ds = r(d\theta )$$

Dejemos que $$x = \cos (\theta )r$$

Ahora, toma el diferencial $ds$ y utilizando un puntero en ángulo $\theta$ girar alrededor del centro del toro, tanto del lado interno como del externo. Observa cómo el segmento $x$ revela hasta qué punto $ds$ es desde el centro, y utilizando la simetría, trazar el lado lejano indirectamente. En el diagrama, el puntero se muestra en una posición de muestra.

$$A_i = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {2\pi } (R - x)\,ds$$

$$A_o = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {2\pi } (R + x)\,ds$$

Sustituyendo $x=(\cos \theta)r$ ,

$$A_i = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {2\pi } (R - (\cos \theta )r) \, ds$$

$$A_o = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {2\pi } (R + (\cos \theta )r) \, ds$$

Sustituyendo $ds$

$$A_i = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {2\pi } (R - (\cos \theta )r)rd\theta$$ $$A_o = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {2\pi } (R + (\cos \theta )r)rd\theta$$

Limpieza, $$A_i = 2\pi r\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} (R - (\cos \theta )r) \, d\theta$$ $$A_o = 2\pi r\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} (R + (\cos \theta )r) \, d\theta$$

Ahora integra,

$$A_i = 2\pi r\left[ R\theta - r\sin \theta \right]_{ - \pi /2}^{\pi /2}$$ $$A_o = 2\pi r\left[ R\theta + r\sin \theta \right]_{ - \pi /2}^{\pi /2}$$

Siguiente, $$A_i = 2\pi r\left( \left[ R\theta - r\sin \theta \right]_{ - \pi /2}^{\pi /2} \right)$$ $$A_o = 2\pi r\left( {\left[ R\theta + r\sin \theta \right]_{ - \pi /2}^{\pi /2}} \right)$$

Entonces, $$A_i = 2\pi r\left( \left[ R{\pi \over 2} - r\sin \left( {\pi \over 2} \right) \right] - \left[ R\left( - {\pi \over 2} \right) - r\sin \left( - {\pi \over 2} \right) \right] \right)$$

$$A_o = 2\pi r \left( \left[ R\frac\pi 2 + r \sin\left( \frac \pi 2 \right) \right] - \left[ R\left(- \frac \pi 2 \right) + r \sin \left(-\frac \pi 2\right) \right] \right)$$

Entonces, $$A_i = 2\pi r\left( {\left[ {R{\pi \over 2} - r\sin \left( {{\pi \over 2}} \right)} \right] + \left[ {R\left( {{\pi \over 2}} \right) + r\sin \left( { - {\pi \over 2}} \right)} \right]} \right)$$

$$A_o = 2\pi r\left( \left[ R{\pi \over 2} + r\sin \left( {\pi \over 2} \right) \right] + \left[ R\left( {\pi \over 2} \right) - r\sin \left( - {\pi \over 2} \right) \right] \right)$$

Entonces, $${A_i} = 2\pi r\left( \left[ R{\pi \over 2} - r \right] + \left[ R\left( {\pi \over 2} \right) - r \right] \right)$$ $${A_o} = 2\pi r\left( \left[ R{\pi \over 2} + r \right] + \left[ R\left( {\pi \over 2} \right) + r \right] \right)$$

Entonces, $$A_i = 2\pi r\left( {2R\pi \over 2} - 2r \right)$$ $$A_o = 2\pi r\left( {2R\pi \over 2} + 2r \right)$$

Entonces, $$A_i = 2\pi r(R\pi - 2r)$$ $$A_o = 2\pi r(R\pi + 2r)$$

Entonces, $${A_i} = 2R{\pi ^2}r - 4\pi {r^2}$$ $${A_o} = 2R{\pi ^2}r + 4\pi {r^2}$$

Finalmente, $$A = A_i + A_o$$ $$A = 4\pi^2 rR$$

Esto también significa que la superficie exterior es exactamente $8 \pi r^2$ mayor que la superficie interior.