Dibujo $z^4 +16 = 0$

Question

Necesito dibujar $z^4 +16 = 0$ en el plano de los números complejos.

Resolviendo $z^4 +16 = 0$ Lo entiendo:

$z = 2 (-1)^{3/4}$ o $z = -2 (-1)^{3/4}$ o $z = -2 (-1)^{1/4}$ o $z = 2 (-1)^{1/4}$

Sin embargo, la solución sugerida por mi maestro es:

Donde se puede ver que las soluciones que encontró son:

$z = \sqrt {2} + i \sqrt {2}$ o $z = \sqrt {2} - i \sqrt {2}$ o $z = - \sqrt {2} + i \sqrt {2}$ o $z = - \sqrt {2} - i \sqrt {2}$

¿Cómo encontró mi profesor estas soluciones?

¿Me estoy perdiendo algo aquí? ¿Tal vez no necesito resolver la ecuación para dibujarla en el plano de los números complejos?

Answer 1

Parece que pregunta por los ordenadores que formulan conjeturas que luego prueban los humanos. Como alguien que no ha estado muy expuesto al tema, me pregunto cómo enseñar a un ordenador (¿tal vez con algún tipo de heurística?) a evaluar que ha encontrado una conjetura plausible: en este caso el ordenador pierde la comodidad de saber que un resultado es verdadero porque lo ha demostrado, mientras que los matemáticos humanos pueden usar el instinto o algún tipo de sentido común. Sin embargo, he encontrado esto:

Un enfoque simbólico de estados finitos para la demostración automatizada de teoremas en la teoría de juegos combinatorios

Answer 2

Las soluciones que su profesor encontró son las siguientes $4$ soluciones a $z^4=16$ . Aquí encontraremos estas raíces algebraicamente.

Como usted señala, las soluciones deben ser de la forma $z=2\cdot (-1)^{1/4}$ , donde " $(-1)^{1/4}$ " representa cualquier raíz cuarta de $-1$ . Por lo tanto, tenemos que encontrar las soluciones a $$z^4=-1,$$ o, de forma equivalente, las soluciones de $z^4+1=0$ . Sobre los números complejos, $-1$ es un cuadrado, a saber $i^2=-1$ Así que $$z^4+1 = z^4-(-1) = z^4-i^2$$ y por lo tanto $z^4+1$ factores como $(z^2-i)(z^2+i)$ . Para factorizar esta expresión por completo, hay que encontrar las raíces cuadradas de $i$ y las raíces cuadradas de $-i$ .

Hallemos las raíces cuadradas de $i$ es decir, buscamos un número complejo $a+bi$ tal que $(a+bi)^2=i$ . Desde $(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi$ concluimos que $a^2-b^2=0$ (así $a=\pm b$ ) y $1=2ab=\pm 2b^2$ . Así, $a=b=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ . En otras palabras, las raíces cuadradas de $i$ son $$z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,\quad \text{and} \quad z_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i.$$ Del mismo modo, se puede encontrar que las raíces cuadradas de $-i$ vienen dadas por $$z_3=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i,\quad \text{and} \quad z_4=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i.$$ Por lo tanto, se deduce de nuestra discusión anterior que las raíces de $z^4+16=0$ son $2z_1$ , $2z_2$ , $2z_3$ y $2z_4$ que son las soluciones que encontró tu profesor.

Answer 3

Una solución fácil es utilizar coordenadas polares. Escriba $z=re^{i\theta}$ . Entonces $r^4 e^{i4\theta}=z^4 =-16 = 16 e^{i\pi}$ implica $r=2$ y $4\theta \equiv \pi \bmod 2\pi$ . Esto da $\theta = \pi/4 + k \pi/2$ que es la foto que has publicado.