Demostrar que el producto convergen

Question

Nunca he trabajado con infinidad de productos antes, así que no tengo idea de cómo hacerlo. Así, una sugerencia sería muy apreciada.

1. demostrar que el producto $\prod (1+\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}})$ diverge

2. deje $e_k = 0$ si $k$ es impar y $1$ lo contrario. deje $b_k = \frac{e_k}{k} + \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}$. demostrar que el producto $\prod (1+b_k)$ converge.

Answer 1

$$(1)$$

Deje $\zeta_n=1-\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\right)\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)$ y tenemos:

$$\prod_{n= 2}^{\infty}\left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)=\prod_{n= 1}^{\infty}(1-\zeta_n)$$

Para $n\geq 1$ tenemos $\dfrac{1}{4n}<\zeta_n$ por lo tanto $\displaystyle\sum_{n\geq 1}\zeta_n$ diverge. Observar también que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\zeta_n=0$

Ahora desde $0<\zeta_n<1\Rightarrow -\ln (1-\zeta_n)>0$ podemos invocar el límite de la prueba de comparación:

$$\lim_{n\to \infty}\frac{-\ln (1-\zeta_n)}{\zeta_n}=1$$

Por lo $\displaystyle\sum_{n\geq 1}-\ln (1-\zeta_n)$ bifurca y, por tanto, $\displaystyle\sum_{n\geq 1}\ln (1-\zeta_n)$ también.

De ello se desprende que $\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}(1-\zeta_n)$ diverge.

$$(2)$$

Similar truco aquí, ahora consideraremos $\displaystyle\xi_n=1-\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\left(1+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\right):$

$$\prod_{n=2}^{\infty} (b_n+1)=\prod_{n=1}^{\infty}(1-\xi_n)$$

Para $n\geq 1$ tenemos $0<\xi_n<\dfrac{1}{n^{3/2}}$ por lo tanto $\displaystyle\sum_{n\geq 1}\xi_n$ converge. También, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\xi_n=0$

Como antes: $$\lim_{n\to \infty}\frac{-\ln (1-\xi_n)}{\xi_n}=1$$

Por lo tanto $\displaystyle\sum_{n\geq 1}\ln(1-\xi_n)$ converge y, por tanto, $\displaystyle\prod_{n=2}^{\infty}(b_n+1)$ converge.

Answer 2

No sé qué teorema de esto es (1), pero puede ser fácilmente comprobado con un poco de álgebra y de la prueba de razón. Pero...

$\prod^{\infty}_{k=0} 1+a_k$ converge si y sólo si $\sum^{\infty}_{k=0} a_k$ converge. Para hacer un punto, este es uno de los más triviales teoremas se me presentó al comenzar el aprendizaje de cómo hacer infinita de productos.

Por lo tanto, demostrando $\prod 1+\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}$ converge o diverge es equivalente a probar $\sum \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}$ converge o diverge, respectivamente.

Ya que esta serie es la alternancia y $\lim_{k\to \infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \to 0$ $\frac{1}{\sqrt{k}}$ está disminuyendo, podemos cumplir con las condiciones de la alternancia de la serie de pruebas y han demostrado que la suma converge.

Por lo tanto el producto converge.

De todos modos, que, dijo, es lamentable que la suma real valor real y el valor de los productos que no están relacionados.

Prueba

Usando la Regla de l'Hôpital (2), podemos mostrar: $\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$.

Si $\sum a_k$ converge a continuación, por la Divergencia de Prueba (enésimo término de prueba) (3), sabemos que $\lim_{k\to\infty}a_k=0$.

Por un cambio de la variable (4), podemos mostrar: $\lim_{a_k \to 0}\frac{\ln(1+a_k)}{a_k} = 1$, y esto es cierto como $k\to\infty$: $\lim_{k \to \infty}\frac{\ln(1+a_k)}{a_k} = 1$

Observe que el límite de la relación converge a un número finito de valor positivo. Por lo tanto, por el límite de la prueba de comparación (5) de una serie infinita, $\sum \ln(1+a_k)$ $\sum a_k$ los dos convergen o divergen juntos.

Si usted no ha seguido a lo largo de tan lejos, que no tienen nada que contribuyen a esta pregunta.

Ahora, cualquiera de las $L$ tiene un valor finito, $L = \sum\ln(1+a_k)$, si la (tanto) la serie converge o $L$ no tiene valor, porque (ambos) de la serie divergente.

Tomando $e^L$ nos da $e^{\sum\ln(1+a_k)} = \prod e^{\ln(1+a_k)} = \prod(1+a_k)$. Básica logaritmo de las reglas (6).

Si $L$ converge, a continuación, $e^L$ converge. Si $L$ separaron, a continuación, $e^L$ separaron.

Por lo tanto, si la serie $\sum a_k$ converge/diverge la serie $\sum\ln(1+a_k)$ converge/diverge (a $L$), y el producto $\prod (1+a_k)$ converge/diverge (a $e^L$).

Más confusión, consulte un libro de texto.

Originalmente aprendido de este teorema a partir de una entrada de un blog alojado por tres estudiantes de posgrado de la universidad de Cornell. El post contiene una prueba de la cites, con sus propias fuentes, y tiene una discusión a fondo ya. (7)

Parte 2

La segunda parte de su pregunta es tan fácil de responder.

El producto $\prod (1+b_k)$ converge o diverge si y sólo si la suma de $\sum b_k$ converge/diverge (como se ha demostrado y explicado anteriormente).

El producto diverge porque la suma diverge. Sabemos que la suma diverge porque la suma puede ser separada en dos sumandos: $\sum \frac{e_k}{k}$$\sum\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}$. Este último ya ha sido probada a converger, pero el primero es esencialmente un armónico - demostrando su divergencia es un poco más complicado, pero lo dejaré para otra persona.