Ejemplo de que en una normativa espacio, la debilidad de la convergencia no implica una fuerte convergencia.

Question

El libro "Introductorio de Análisis Funcional con Aplicaciones" (Kreyszig) presenta las siguientes definiciones.

Una secuencia $(x_n)$ en una normativa espacio de $X$ dijo estar fuertemente convergente si hay un $x\in X$ tal que $\lim\|x_n-x\|=0$. (página 256)

Una secuencia $(x_n)$ en una normativa espacio de $X$ se dice es débilmente convergente si hay un $x\in X$ tal que $\lim f(x_n)=f(x)$ por cada $f\in X'$. (página 257)

A continuación, se demostró que la fuerte convergencia implica la debilidad de la convergencia, pero el recíproco no es cierto en general (a menos que $X$ es finito-dimensional). Para demostrarlo, él da un ejemplo de un espacio de Hilbert y utiliza la Representación de Riesz y Teorema de la desigualdad de Bessel (página 259).

Me gustaría un ejemplo de que la debilidad de la convergencia no implica una fuerte convergencia en una normativa espacio de $X$ que no es un espacio de Hilbert. Hay uno?

Gracias.

Answer 1

Considere la posibilidad de $\ell^p$, el espacio de la real secuencias que $\sum_j|x_j|^p$ es finito con la norma natural. Si $p\neq 2$, no es un espacio de Hilbert. Si $1\lt p\lt \infty$, tome $e_{j}=(0,\dots,0,1,0,\dots)$, donde el $1$ es a $j$-ésima posición. Esta secuencia converge débilmente a $0$ $\ell^p$ pero no fuerte.

El caso de $p=1$ es diferente. Si la debilidad de la convergencia y la convergencia en norma en $(X,\lVert\cdot\rVert)$ son equivalentes, podemos decir que $(X,\lVert\cdot\rVert)$ tiene la propiedad de Schur.

Answer 2

Otra fácil no Hilbert ejemplo: Tome $X = C_0(\mathbb{R})$ con el uniforme de la norma. $X^*$ es el Radón medidas en $\mathbb{R}$. La secuencia de $\{ \chi_{[n, n + 1]} \}_n$ $0$ débilmente, pero no es de Cauchy en la norma.