Actualmente, no se ha demostrado que RH implique la conjetura de Goldbach, pero hay resultados parciales en esta dirección.
Aquí hay un documento que explica por qué la GRH implica la conjetura ternaria de Golbach, es decir, la afirmación de que todo entero impar mayor que cinco es la suma de tres primos. Este teorema ha sido demostrado incondicionalmente por Helfgott.
Además, aquí hay un respuesta que publiqué a esta pregunta que he añadido aquí:
Dejemos que $$G(2N)=\sum_{p+q=2N}\log p\log q$$ sea el recuento ponderado del número de representaciones de $2n$ como una suma de dos primos, y que $$J(2N)=2NC_2 \prod_{p|N,\ p>2}\left(\frac{p-1}{p-2}\right)$$ donde $C_2$ es el constante del gemelo primo . En su documento, refinamientos de la conjetura de Goldbach y la hipótesis de Riemann generalizada Granville lo demuestra:
Teorema: La hipótesis de Riemann equivale a la afirmación de que $$\sum_{2N\leq x} (G(2N)-J(2N))\ll x^{3/2-o(1)}.$$
Nótese que esto no es equivalente a la conjetura de Goldbach ya que uno de estos términos podría ser de tamaño $N$ . He aquí una prueba de este teorema:
Prueba : En primer lugar, tenemos que $$\sum_{2N\leq x} J(2N)=\frac{x^2}{2}+O(x\log x).$$ A continuación, ya que $$\sum_{n\leq x} G(2N) =\sum_{p+q\leq x}\log p\log q = \sum_{p\leq x}\theta(x-p)$$ donde $\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p$ y como la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que $\theta(x)=x+O(x^{1/2+o(1)})$ vemos que $$\sum_{p+q\leq x}\log p\log q=\frac{x^2}{2}+O\left(x^{3/2-o(1)}\right)$$ si y sólo si se cumple la hipótesis de Riemann. Combinando estos dos hechos se demuestra el teorema.
Por último, es importante señalar que no hay barras de valor absoluto en el enunciado del teorema de Granville. Esto significa que aunque la hipótesis de Riemann sea cierta, este teorema no implica que $$G(2N)=J(2N)+O(N^{1/2+o(1)})$$ para cualquier $N$ - puede ser que el término de error sea siempre de tamaño $N$ y hay una cancelación mágica en la suma anterior.
