¿Qué es el "álgebra" en $\sigma$-álgebra (o "campo" en $\sigma$campo)?

Question

Sé que $\sigma$ $\sigma$- álgebra representa el cierre contable de la unión de la propiedad. ¿Qué acerca de "álgebra"? Seguramente no puede álgebra sobre un campo o un anillo, como se define en los libros de texto de álgebra. Por eso también es $\sigma$-álgebra también llamado $\sigma$campo y lo que se entiende por "campo"?

Answer 1

Un campo de conjuntos es una familia $\mathcal F$ de los subconjuntos de un conjunto dado $X$ la satisfacción de los axiomas:

1. $X\in \mathcal F$
2. Para cualquier $A,B\in \mathcal F$ tenemos $A\cup B\in \mathcal F$.
3. Para cualquier $A\in \mathcal F$ tenemos $X\setminus A\in \mathcal F$.

En otras palabras, es un álgebra booleana de conjuntos con las operaciones habituales. Álgebra, en este contexto, es en realidad sinónimo de campo. Un $\sigma$-campo (álgebra) corresponde a un $\sigma$-completar álgebra booleana.

Vale la pena mencionar, que en realidad es naturalmente un anillo en el habitual sentido algebraico (como cualquier álgebra de boole). Tienes razón que no puede ser un campo excepto el más trivial de dos elementos del caso (como divisores de cero abundan).