Cómo resolver la ecuación funcional $ f(f(x))=ax^2+bx+c $

Question

Encontrar todos los números reales $a,b,c\in\mathbb{R}$ para la que existe una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que: $$ f(f(x))=ax^2+bx+c $$ para todos $x\in\mathbb{R}$ .

Lo único que pude deducir es: $$ f(ax^2+bx+c)=af(x)^2+bf(x)+c $$ Lo cual no ayuda mucho. ¿Cómo abordar el problema?

Answer 1

RESPUESTA CORTA: No se conoce una solución general a este problema de forma cerrada, pero se pueden resolver algunos casos especiales. Lo siento.

RESPUESTA LARGA: Obsérvese que si una función $f$ satisface $$f(x)=(g^{-1} \circ h \circ g)(x)$$ para algunos $g,h$ entonces $$f^n(x)=(g^{-1} \circ h^n \circ g)(x)$$ donde el superíndice denota la iteración funcional en lugar de la exponenciación.

Podemos resolver esta ecuación para toda una clase de cuadráticas $$f^2(x)=q(x)=ax^2+bx+c$$ para lo cual $$c=\frac{b^2-2b}{4a}$$ Esto se debe a que podemos reescribir $$q(x)=ax^2+bx+\frac{b^2-2b}{4a}$$ como $$q(x)=a\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2-\frac{b}{2a}$$ y así, dejando que $g(x)=x-\frac{b}{2a}$ et $h(x)=ax^2$ , $$q(x)=(g^{-1} \circ h \circ g)(x)$$ y por lo tanto $$q^n(x)=(g^{-1} \circ h^n \circ g)(x)$$ y como la fórmula de $h^n$ es $$h^n(x)=a^{2^n-1}x^{2^n}$$ tenemos $$q^n(x)=a^{2^n-1}\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^{2^n}-\frac{b}{2a}$$ y, finalmente, $$f(x)=q^{1/2}(x)=a^{\sqrt 2-1}\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^{\sqrt 2}-\frac{b}{2a}$$ Así que ahí está la solución para ese caso especial. Hay otro caso especial cuando $$c=\frac{b^2-2b-8}{4a}$$ pero la solución a ese caso es mucho más larga, por lo que la omitiré y se la dejaré a usted para que investigue por su cuenta.

Existe otro caso especial en el que intervienen funciones trigonométricas. Obsérvese que si dejamos que $$g(x)=\arccos x$$ $$h(x)=2x$$ tenemos $$(g^{-1}\circ h\circ g)(x)=\cos(2\arccos x)$$ y, utilizando la fórmula del doble ángulo, $$(g^{-1}\circ h\circ g)(x)=\cos^2(\arccos x)-\sin^2(\arccos x)$$ $$(g^{-1}\circ h\circ g)(x)=x^2-(1-x^2)$$ $$(g^{-1}\circ h\circ g)(x)=2x^2-1$$ y así $g^{-1}\circ h\circ g$ es una cuadrática. Ahora dejemos que $$q(x)=(g^{-1}\circ h\circ g)(x)$$ para que $$q^n(x)=(g^{-1}\circ h^n\circ g)(x)$$ Ahora bien, como $$h^n(x)=2^n x$$ tenemos $$q^n(x)=\cos(2^n\arccos x)$$ y $$f(x)=q^{1/2}(x)=\cos(\sqrt{2}\arccos x)$$ que resuelve otro caso especial. Sin embargo, nótese que esto sólo se resuelve en el dominio $[-1,1]$ porque ahí es donde $\arccos x$ se define.

Estoy seguro de que hay otros casos especiales que implican funciones trigonométricas, pero los dejaré para que los encuentres.

Answer 2

Aquí hay algunas reflexiones para continuos y diferenciables $f$ . Resulta que hay una solución única si se cumplen algunas condiciones (puedes mirar al final la respuesta final).

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• $$ f(f(x))=ax^2+bx+c\implies f(ax^2+bx+c)=af(x)^2+bf(x)+c $$
• Si $f(x)=f(y)$ , $x\neq y$ entonces: $$ a(x+y)=b. $$ Si $a(x+y)=b$ entonces, en cualquier caso $ff(x)=ff(y)$ lo que significa que $f(x)=f(y)$ o $a(f(x)+f(y))=b$ . En cualquier caso hay dos números no iguales $x'$ et $y'$ tal que $f(x')=f(y')$ y se encuentran en dos lados diferentes de $\frac{-b}{2a}$ .
• Si $f(x)=x$ entonces: $f(x)=ax^2+bx+c$ por lo tanto: $$ ax^2+(b-1)x+c=0\implies (b-1)^2\geq 4ac; x=\frac{-b+1\pm\sqrt{(b-1)^2-4ac} }{2a}. $$

• $f'(ax^2+bx+c)(2ax+b)=f'(x)(2af(x)+b)$ por lo tanto: $$ x=\frac{-b}{2a}\implies f'(\frac{-b}{2a})=0\text{ or } f(\frac{-b}{2a})=\frac{-b}{2a}$$ Por otro lado: $$ f'(f(x)).f'(x)=2ax+b. $$ Así que:

  Si $f'(x)=0$ entonces $x=\frac{-b}{2a}$ .

Tenga en cuenta que a partir de un tamaño suficientemente grande $x$ et $y$ satisfaciendo $a(x+y)=b$ et $f(x)=f(y)$

• Si $f(\frac{-b}{2a})=\frac{-b}{2a}$ entonces $f\circ f(\frac{-b}{2a})=\frac{-b}{2a}$ lo que significa: $$ c-\frac{b^2}{4a}=-\frac b{2a}\implies b^2-4ac=2b. $$

además: $$ f'(f(\frac{-b}{2a})).f'(\frac{-b}{2a})=\implies f'(\frac{-b}{2a})=0. $$ Si $b^2-4ac\neq 2b$ , $f'(\frac{-b}{2a})=0$ ; así que en cualquier caso:

$$ f'(\frac{-b}{2a})=0. $$

Esto significa que la función es estrictamente creciente en un lado de $\frac{-b}{2a}$ y estrictamente decreciente en el otro lado.

Además, si $f'(f(x))=0$ entonces $x=\frac{-b}{2a}$ así que si hay $x$ tal que $f(x)=\frac{-b}{2a}$ entonces $f'(f(x))=0$ lo que significa que $x=\frac{-b}{2a}$ . Así que:

$$f(\frac{-b}{2a})=\frac{-b}{2a}\implies b^2-4ac=2b$$

Sin esta condición no habrá respuesta.

• Pero si $a(x+y)=b$ et $f(x)\neq f(y)$ entonces $a(f(x)+f(y))=b$ pero esto significa que ambos no pueden ser en el mismo tiempo mayores (o menores) que $\frac{-b}{2a}$ lo cual es una contradicción ya que $f'(\frac{-b}{2a})=0$ et $\frac{-b}{2a}$ es un punto extremo de $f$ . Por lo tanto:

  $$ f(x)=f(y), x\neq y\iff a(x+y)=b$$

Por lo tanto, basta con encontrar la función para $x>\frac{-b}{2a}$ .

• Ver que después de utilizar la información derivada anteriormente: $$ f(ax^2+bx+\frac{b^2-2b}{4a})=af(x)^2+bf(x)+\frac{b^2-2b}{4a}\implies\\ f\left(a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b}{2a}\right)=a\left(f(x)+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b}{2a}. $$ .
  Tenga en cuenta que si $a>0$ entonces $x>-\frac{b}{2a}\implies f(x)>-\frac{b}{2a}$ ; w.l.o.g. asumimos $a>0$ et $x>-\frac b{2a}$ . $$ af\left(a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b}{2a}\right)+\frac{b}{2}=\left(af(x)+\frac{b}{2}\right)^2 $$ Ver que definir $g(x)=af(x)+\frac b2$ obtenemos: $$ g(a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b}{2a})=g(x)^2 $$ Define la función: $$ h(x)=\frac{\log g(x)}{\log(ax+\frac b2)}. $$ Entonces, tenemos: $$ h(a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b}{2a})=h(x) $$ Se puede demostrar que esta función es una constante construyendo una secuencia decreciente $u_n$ a partir de un $u$ y mostrando que $h(u)$ es igual al límite de $u_n$ que es un valor constante independiente de $u$ . Por lo tanto: $$ \frac{\log g(x)}{\log(ax+\frac b2)}=C\implies g(x)=(ax+\frac b2)^C\\ \implies f(x)=\frac 1a\left((ax+\frac b2)^C-\frac b2\right). $$ Al conectar con la pregunta original, resulta que $C=\sqrt 2$ . Ampliarlo para todos $x$ 's, obtenemos:

$$ f(x)=\frac 1a\left(|ax+\frac b2|^{\sqrt 2}-\frac b2\right) \text{ if } b^2-4ac=2b. $$

Answer 3

Esta es sólo una respuesta parcial, pero puede ser de ayuda.

Si $f(x)=mx+d$ entonces $f(f(x))=m(mx+d)+d=m^2x+(m+1)d$ por lo que cualquier triple de la forma $(0,b,c)$ con $b\ge0$ obras, tomando $m=\sqrt b$ et $d=c/(1+\sqrt b)$ .

Asimismo, si $f(x)=m|x|^\sqrt2$ entonces $f(f(x))=m|(m|x|^\sqrt2)|^\sqrt2=m|m|^\sqrt2x^2$ por lo que cualquier triple de la forma $(a,0,0)$ obras, tomando $m=sgn(a)|a|^{1/(1+\sqrt2)}$ .

Así que me parece que hay dos preguntas naturales: 1) ¿Recibe el $a\not=0$ fuerza $b=c=0$ ? y 2) ¿hay alguna tripleta con $b\lt0$ ?