Para las matrices complejas, si $\langle Ax,x\rangle=\langle Bx,x\rangle$ para todos $x$ entonces $\langle Ax,y\rangle=\langle Bx,y\rangle$ para todos $x$ y $y$ ?

Question

Dado $A$ y $B$ , $n\times n$ matrices complejas. Si $\langle x,y\rangle =y^{*}x$ para todos $x,y\in \mathbb C^{n}$ , entonces las siguientes son equivalentes:

(1) $\langle Ax,y\rangle=\langle Bx,y\rangle$ para todos $x,y\in \mathbb C^{n}$ .

(2) $\langle Ax,x\rangle=\langle Bx,x\rangle$ para todos $x,y\in \mathbb C^{n}$ .

(1) implica (2) es fácil, ¿cómo demostrar que (2) implica (1)?

Answer 1

Pista: Utiliza las propiedades algebraicas del producto interior para expandir cada lado de las siguientes ecuaciones:

• $\langle A(x+y),x+y\rangle=\langle B(x+y),x+y\rangle$
• $\langle A(x+iy),x+iy\rangle=\langle B(x+iy),x+iy\rangle$

Answer 2

Un enfoque muy similar, pero ligeramente más sencillo, es desplazar a todos a un lado de las ecuaciones, utilizar la linealidad para combinar los operadores y considerar la diferencia $C := A - B$ . Entonces su primera ecuación implica que $\forall x, y \in \mathbb{C}^n, \langle C x, y \rangle = 0$ que es claramente equivalente a la ecuación del operador $C = 0$ . El enunciado a mostrar se convierte entonces en $$\forall x \in \mathbb{C}^n, \langle C x, x \rangle = 0 \iff C = 0.$$ A continuación, puede hacer el mismo truco que sugirió Jonas Meyer y ampliar $\langle C(x + y), x + y \rangle$ y $\langle C(x + i y), x + i y \rangle$ y el álgebra es ligeramente más simple.

Este sencillo truco también ayuda a explicar el comportamiento cualitativamente diferente entre los casos real y complejo: es que los números complejos son algebraicamente cerrados y los reales no. Cualquier matriz no nula $C$ es el polinomio característico de $n$ -de orden y no trivial (lo que significa que no es sólo $\lambda^n$ pero también tiene términos sublevados). Cualquier polinomio no trivial tiene al menos una raíz compleja no nula, por lo que cualquier matriz compleja no nula $C$ tendrá al menos un valor propio no nulo $\lambda$ . Desde el rango numérico de cualquier matriz contiene sus valores propios, el rango numérico de cualquier matriz compleja no nula es no trivial, es decir, no es simplemente $\{ 0 \}$ . (Otra forma de ver esto es que el radio numérico de cualquier matriz compleja es al menos la mitad de su norma del operador que es positiva para una matriz no nula).

Por otro lado, una matriz real no nula tiene un polinomio característico real no trivial que puede no tener ninguna raíz real, como el ejemplo $$\left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$ dado en los comentarios a la respuesta de Jonas Mayer, por lo que puede no tener ningún vector propio. Por eso su radio numérico puede ser $0$ .