Necesito encontrar la suma de n términos de la serie
$$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{2}{1\cdot 3\cdot 5}+\frac{3}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}+\cdots$$
Y no tengo ni idea de cómo seguir adelante. No parece una progresión aritmética ni geométrica. Por lo que veo no es telescópica. ¿Qué hago?
Es telescópica. Considera eso: $$ \frac{1}{1\cdot 3} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right),\quad \frac{2}{1\cdot 3\cdot 5} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 5}\right), $$ $$ \frac{3}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}-\frac{1}{3\cdot 5\cdot 7}\right),\quad \ldots$$ Así que..: $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(2k+1)!!} = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(2n+1)!!}\right). $$ Como siempre, $(2k+1)!!$ significa $1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2k+1)$ .
Facilitaría un poco la comprensión del telescopio si se mantuviera el $1$ en el lado derecho: $\frac{1}{1}-\frac{1}{1\cdot 3}$ , $\frac{1}{1\cdot 3}-\frac{1}{1\cdot3 \cdot 5}$ etc. Además, no está claro que el OP siga la notación de doble factor.
@Jack D'Aurizio ataca de nuevo :-)¡Viendo tu respuesta después de bastante tiempo....y como siempre lo has hecho genial :-D¡ Gracias!
Bravo por esta vez, Jack. Estaba derivando una serie que involucra a Erf y a alguna exponencial que, como tú quieres, se reduce a $1/2$ después de introducir un valor de $x$ . Pero esto es mucho más elegante.
Claramente $$U_{r+1}=\frac{r}{1 \cdot3\cdot 5\cdot 7 \cdot......\cdot(2r-3)\cdot(2r-1)\cdot(2r+1)}$$
$$2U_{r+1}=\frac{2r}{1 \cdot3\cdot 5\cdot 7 \cdot......\cdot(2r-3)\cdot(2r-1)\cdot(2r+1)}$$
$$2U_{r+1}=\frac{(2r+1)-1}{1 \cdot3\cdot 5\cdot 7 \cdot......\cdot(2r-3)\cdot(2r-1)\cdot(2r+1)}$$
$$2U_{r+1}=\frac{(2r+1)}{1 \cdot3\cdot 5\cdot 7 \cdot......\cdot(2r-3)\cdot(2r-1)}-\frac{1}{1 \cdot3\cdot 5\cdot 7 \cdot......\cdot(2r-3)\cdot(2r-1)}$$
$$2U_{r+1}=\frac{1}{1 \cdot3\cdot 5\cdot 7 \cdot......\cdot(2r-3)\cdot(2r-1)}-\frac{1}{1 \cdot3\cdot 5\cdot 7 \cdot......\cdot(2r-3)\cdot(2r-1)\cdot(2r+1)}$$
Ahora dejemos que $$V_r=\frac{1}{1 \cdot3\cdot 5\cdot 7 \cdot......\cdot(2r-3)\cdot(2r-1)}$$
Entonces $$V_{r+1}=\frac{1}{1 \cdot3\cdot 5\cdot 7 \cdot......\cdot(2r-3)\cdot(2r-1)\cdot(2r+1)}$$
Así, $$2U_{r+1}=V_r-V_{r+1}$$
$$\displaystyle 2\sum_{r=1}^{n} U_{r+1}=\sum_{r=1}^{n} \{V_r-V_{r+1}\}=V_1-V_{n+1}$$
$$\displaystyle 2\sum_{r=1}^{n} U_{r+1}=V_1-V_{n+1}$$
$$\displaystyle 2\sum_{r=1}^{n} U_{r+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{1 \cdot3\cdot 5\cdot 7 \cdot......\cdot(2n-3)\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}$$
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¿Qué hacen los puntos en $1.3.5$ ¿pretende?
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Se pueden escribir los términos como $n\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(2n+2)!}$ . Sin embargo, no estoy seguro de que eso ayude.
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Creo que representan la multiplicación.
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Es estándar en algunos países y locales para la multiplicación @Stef
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@ThomasAndrews Ok, gracias, no lo sabía.
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Por cierto, ¿qué es un $AP$ o $GP.V_n$ ¿método?
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@ThomasAndrews Wolfram Alpha muestra que la suma converge a 1/2.
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@zz20s Sin embargo, no nos pidieron la suma infinita.
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Mi error, asumí que la elipsis significaba que queríamos la suma infinita.
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"suma de n términos" @zz20s