Un plano de la región se han asociado a un espectro que consta de Dirichlet valores propios, o los parámetros de $\lambda$ para el que es posible resolver el problema de Dirichlet para el operador Laplaciano,
$$ \begin{cases} \Delta u + \lambda u = 0 \\ u|_{\partial R} = 0 \end{cases}$$
Me pregunto, si tenemos una secuencia de los límites de $\partial R_n$ convergentes pointwise hacia la $\partial R$, entonces los espectros también convergen? (Hago la noción de convergencia formal de la siguiente manera: $\cap_{N=1}^\infty l(\cup_{n=N}^\infty\partial R_n)=\partial R$; $\cap_{N=1}^\infty l(\cup_{n=N}^\infty\mathrm{spec}(R_n))=\mathrm{spec}( R)$, donde $ l(\cdot)$ denota el conjunto de la acumulación de puntos de un conjunto y $\mathrm{spec}(\cdot)$ indica el espectro de una región).
Una motivación patológica ejemplo es la secuencia de los límites, indexado por $n$, definido por las ecuaciones polares $r=1+\frac{1}{n}\sin(n^2\theta)$. Los límites convergen en el círculo unidad. Sin embargo, ya que la pendiente de cualquier eigenfunction debe ser ortogonal a la región de frontera (como se trata de un conjunto de nivel), las funciones propias no puede converger para nada (en ningún sentido noción) y por lo que me hace preguntarme si es posible incluso para los autovalores para hacerlo.
Si la respuesta es "no, el espectro no necesariamente convergen," mucho más amplia, la pregunta que surge es: ¿cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que convergen? Intuitivamente, me imagino que una condición necesaria es que la curvatura de los límites también convergen de manera adecuada, pero no tengo idea de si eso es suficiente. EDIT: Otra pregunta interesante es si el autovalor principal (el más pequeño distinto de cero) puede crecer arbitrariamente grande.
