Entrevista en Google Pregunta sobre un pueblo donde si una pareja tiene una niña nacida, no puede tener más hijos...

Question

Hoy estuve leyendo sobre los acertijos matemáticos de Google Interview y no pude resolver el siguiente acertijo.

Imagina una ciudad en la que existe una ley:

Si una pareja tiene una niña nacida, no puede tener más hijos. Si nace un niño, pueden tener más hijos. Siguen teniendo hijos hasta que nace una niña.

La pregunta es: ¿Cuál es la proporción de chicas respecto a los chicos en la ciudad?

Estoy tratando de resolverlo usando las matemáticas. Este es mi enfoque, pero no estoy llegando a ninguna parte. Estoy usando probabilidades para modelar este mundo.

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La probabilidad de que una nueva pareja tenga 1 niño es 1/2.

La probabilidad de que una nueva pareja tenga una niña es 1/2.

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La probabilidad de que una pareja con 1 niño tenga 2 niños es de 1/4.

La probabilidad de que una pareja con 1 niño tenga 2 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).

La probabilidad de que una pareja con 1 niño tenga 1 niño y 1 niña es de 1/4.

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La probabilidad de que una pareja con 2 niños tenga 3 niños es de 1/8.

La probabilidad de que una pareja con 2 niños tenga 3 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).

La probabilidad de que una pareja con 2 niños tenga 2 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).

La probabilidad de que una pareja con 2 niños tenga 2 niños y 1 niña es de 1/8.

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La probabilidad de que una pareja con 3 niños tenga 4 niños es de 1/16.

La probabilidad de que una pareja con 3 niños tenga 4 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).

La probabilidad de que una pareja con 3 niños tenga 3 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).

La probabilidad de que una pareja con 3 niños tenga 2 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).

La probabilidad de que una pareja con 3 niños tenga 3 niños y 1 niña es de 1/16.

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En este momento estoy empezando a ver un patrón. Si la pareja tiene un niño, entonces con igual probabilidad puede tener una niña también.

Así que sumo todas las probabilidades de todas las parejas de la ciudad (número infinito de parejas), y multiplico la probabilidad por el número de chicos:

$Boys in Town = 1*1/2 + 2*1/4 + 3*1/8 + 4*1/16 + ...$

Consigo series infinitas:

$1/2 + 1/2 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...$

Lo resumo y me sale:

$1 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...$

(No sé cómo resumir esto)

Así que seguro que habrá más de un niño.

Así que creo que en esta ciudad la proporción será que hay más niños que niñas.

En particular, habrá $3/8 + 4/16 + 5/32 + ...$ chicos más que chicas en la ciudad.

Habrá 1 chica y 1 + $3/8 + 4/16 + 5/32 + ...$ chicos.

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Por favor, dígame lo que piensa de mi análisis. Gracias.

Answer 1

Piensa en ello como si se tratara de lanzar una moneda al aire. Lanzas una moneda y la sigues lanzando hasta que sale cara. Luego pasas la moneda a otra persona que también la lanza hasta que sale cara. Hazlo una y otra vez. ¿Cuál será la proporción de caras y colas?

Answer 2

Aunque se puede modelar esto reconociendo que se trata de una variable aleatoria geométrica y utilizando las propiedades de la misma, también se puede identificar la expectativa utilizando la fórmula de la expectativa total y la propiedad de Markov. En concreto, dejemos que $N_b$ sea el número de varones de una familia. Entonces

$$E(N_b) = E(N_b | \text{ first child is male }) P( \text{ first child is male }) + E(N_b | \text{ first child is female }) P(\text{ first child is female }) \\ = (1+E(N_b))/2 + 0.$$

De ello se deduce que $E(N_b) = 1$ . Para las chicas, dejemos $N_g$ sea el número de niñas en una familia. Entonces, por un argumento análogo

$$E(N_g) = E(N_g)/2 + 1/2$$

de lo que se deduce que $E(N_g)=1$ . Así que su proporción es de 1.

Answer 3

*No puedo comentar, y no soy un experto en matemáticas, pero me voy a arriesgar a que me voten en contra.

"La pregunta es: ¿Cuál es la porción de chicas a chicos en la ciudad?"

"Si una pareja tiene una niña, no puede tener más hijos. Si nace un niño, pueden tener más hijos. Siguen teniendo hijos hasta que nace una niña".

*Supongo que la "porción" anterior significa proporción.

Las respuestas aquí están afirmando que es un evento independiente y por lo tanto es 1:1, pero esto sería una respuesta a la pregunta "¿cuál es la probabilidad de tener una niña en esta ciudad?".

En primer lugar, si mi comprensión de la pregunta es correcta, entonces la respuesta podría ser cualquier cosa desde 0:1 hasta 1:0 porque la proporción no se conoce a partir de una probabilidad.

Voy a cambiar mi interpretación de la pregunta a: Cuál es la probabilidad de que haya chicas y chicos en la ciudad".

La probabilidad de tener una niña es 1/2 y lo mismo para un niño. El último hijo será una niña.

La probabilidad de que haya un niño será de 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... -> 1/((n+1)al cuadrado). El último niño será una niña y todo lo anterior que tenga mayor probabilidad será un niño por lo que parece que no será 1:1. Sin embargo, como no nacerá ningún niño después de una niña, estas probabilidades deben restarse.

*Por favor, mejore esta respuesta.