Hoy estuve leyendo sobre los acertijos matemáticos de Google Interview y no pude resolver el siguiente acertijo.
Imagina una ciudad en la que existe una ley:
Si una pareja tiene una niña nacida, no puede tener más hijos. Si nace un niño, pueden tener más hijos. Siguen teniendo hijos hasta que nace una niña.
La pregunta es: ¿Cuál es la proporción de chicas respecto a los chicos en la ciudad?
Estoy tratando de resolverlo usando las matemáticas. Este es mi enfoque, pero no estoy llegando a ninguna parte. Estoy usando probabilidades para modelar este mundo.
La probabilidad de que una nueva pareja tenga 1 niño es 1/2.
La probabilidad de que una nueva pareja tenga una niña es 1/2.
La probabilidad de que una pareja con 1 niño tenga 2 niños es de 1/4.
La probabilidad de que una pareja con 1 niño tenga 2 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).
La probabilidad de que una pareja con 1 niño tenga 1 niño y 1 niña es de 1/4.
La probabilidad de que una pareja con 2 niños tenga 3 niños es de 1/8.
La probabilidad de que una pareja con 2 niños tenga 3 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).
La probabilidad de que una pareja con 2 niños tenga 2 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).
La probabilidad de que una pareja con 2 niños tenga 2 niños y 1 niña es de 1/8.
La probabilidad de que una pareja con 3 niños tenga 4 niños es de 1/16.
La probabilidad de que una pareja con 3 niños tenga 4 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).
La probabilidad de que una pareja con 3 niños tenga 3 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).
La probabilidad de que una pareja con 3 niños tenga 2 niñas es 0. (Sólo se puede tener 1 niña por ley).
La probabilidad de que una pareja con 3 niños tenga 3 niños y 1 niña es de 1/16.
En este momento estoy empezando a ver un patrón. Si la pareja tiene un niño, entonces con igual probabilidad puede tener una niña también.
Así que sumo todas las probabilidades de todas las parejas de la ciudad (número infinito de parejas), y multiplico la probabilidad por el número de chicos:
$Boys in Town = 1*1/2 + 2*1/4 + 3*1/8 + 4*1/16 + ...$
Consigo series infinitas:
$ 1/2 + 1/2 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...$
Lo resumo y me sale:
$ 1 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...$
(No sé cómo resumir esto)
Así que seguro que habrá más de un niño.
Así que creo que en esta ciudad la proporción será que hay más niños que niñas.
En particular, habrá $ 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...$ chicos más que chicas en la ciudad.
Habrá 1 chica y 1 + $ 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...$ chicos.
Por favor, dígame lo que piensa de mi análisis. Gracias.
