¿Por qué $d(\varphi^*f)=\varphi^*df$?

Question

Estoy tratando de aprender un poco acerca de las formas diferenciales para complementar mi estudio en el análisis, pero estoy teniendo un momento difícil con algunas de las manipulaciones.

De todos modos, supongamos $\Omega$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$, e $\varphi:\Omega\to\mathbb{C}$ un suave mapa. Para una función de $f$, tengo la definición de $\varphi^*f=f\circ\phi$, (cuando esto tiene sentido para $f$ del curso).

También tengo las definiciones $$ \varphi^*\,dx=\frac{\partial\varphi_1}{\partial x}\,dx+\frac{\partial\varphi_1}{\partial y}\,dy, \qquad \varphi^*dy=\frac{\partial\varphi_2}{\partial x}\,dx+\frac{\partial\varphi_2}{\partial y}\,dy, $$ donde $\varphi_1$ $x$ componente de $\varphi$ $\varphi_2$ $y$ componente. Para un $1$forma $h=f\,dx+g\,dy$, $$ \varphi^*h=(\varphi^*f)\varphi^*\,dx+(\varphi^*g)\varphi^*\,dy. $$

Lo que no entiendo es por qué cómo $d(\varphi^* f)=\varphi^*df$.

Pensé $d(\varphi^*f)=d(f\circ \phi)=f\,d\varphi+\varphi \,df$. Creo que mi gran problema aquí es que no entiendo cómo se aplican $d$ a una composición de funciones. Yo también creo que $$ \varphi^*(df)=\varphi^*\left(\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy\right) $$ pero no sé cómo llevar esto más lejos. No se ven iguales a mí. ¿Cómo igualdad de seguir aquí? Gracias.

Answer 1

Como usted ha escrito, hemos $$\tag{1}\varphi^*(df)=\varphi^*\left(\frac{\partial f}{\partial u}\,du+\frac{\partial f}{\partial v}\,dv\right).$$ Deje $\varphi(x,y)=(u(x,y),v(x,y))=(\varphi_1(x,y),\varphi_2(x,y))$. De nuevo, por lo que usted ha escrito, es decir, $\varphi^*(fdu+gdv)=(\varphi^*f)\varphi^*\,du+(\varphi^*g)\varphi^*\,dv$, $(1)$ puede ser escrita como $$\tag{2}\varphi^*(df)=\varphi^*\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)\,\varphi^*du+\varphi^*\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)\,\varphi^*dv.$$ Por definición, es decir, $$\varphi^*\,du=\frac{\partial u}{\partial x}\,dx+\frac{\partial u}{\partial y}\,dy, \qquad \varphi^*dy=\frac{\partial v}{\partial x}\,dx+\frac{\partial v}{\partial y}\,dy,$$ (Escribí $\varphi_1$$u$$\varphi_2$$v$) y $$\tag{3} \varphi^*F=F\circ\varphi\mbox{ for a function }F,$$ $(2)$ puede ser escrito como $$\varphi^*(df)=\frac{\partial f}{\partial u}\circ\varphi\left(\frac{\partial u}{\partial x}\,dx+\frac{\partial u}{\partial y}\,dy\right)+\frac{\partial f}{\partial v}\circ\varphi\left(\frac{\partial v}{\partial x}\,dx+\frac{\partial v}{\partial y}\,dy\right)$$ $$=\left(\frac{\partial f}{\partial u}\circ\varphi\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\circ\varphi\frac{\partial v}{\partial x}\right)dx+\left(\frac{\partial f}{\partial u}\circ\varphi\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\circ\varphi\frac{\partial v}{\partial y}\right)dy$$ $$=\frac{\partial (f\circ\varphi)}{\partial x}dx+\frac{\partial (f\circ\varphi)}{\partial y}dy=d(f\circ \varphi)=d(\varphi^*f)$$ donde la segunda igualdad se sigue de la regla de la cadena, y la última desigualdad se sigue de $(3)$.