Dado un entero $i$, encontrar un entero $n$ ( $2^{j-1}\le n <2^j$), y un divisor primo $p$$M_n=2^n-1$, por lo que el $v= j+i$; en caso de $p$ es escrito como $k2^v+1$, $k$ impar.
En otras palabras, $j$ es tal que $2^{j-1}\le ord_p(2) <2^j$ donde $ord_p(2)$ es la multiplicación de la orden de $2$$Z/pZ^*$. Cualquier número impar $p$ se puede asignar un $i$ valor, pero, al $p$ es primo, la mayoría de las veces $v$ es menor que $j$ $i$ es negativo. La mayoría de las veces $i$ está cerca de a $-Log_2(p)+1$.
Cuando sólo $i\ge 0$ son permitidos, estos primos $p$ convertido en muy raras, y todos los más que $i$ es grande.
Me pregunto si algún matemático real nunca investigó.
$65537 = 1.2^{16}+1$ es un divisor de a $2^{2^5}-1$: aquí $v=16; j=6$$i=10$. Este solía ser el más grande de $i$, que yo sepa.
$59393=29.2^{11}+1$ es un divisor de a $2^{29.2^3}-1$: aquí $v=11; j=8$$i=3$.
$115201=225.2^9+1$ es un divisor de a $2^{225}-1$: aquí $v=9; j=8$$i=1$.
Para un Mersenne prime, $v=1$, (o $i=1-j$, es siempre negativo).
Para un Fermat primer $p=2^{2^l}+1$, $v=2^l$, $j=l+2$, y $i=2^l-l-2$ puede crecer muy grande. Por el contrario, si se pudiera probar que, para los números primos, $i$ como se definió anteriormente es limitado, no uno también probar en el mismo tiempo, como corolario, que hay sólo un número finito de números primos de Fermat?
He comprobado todos los números primos por debajo de $4278255361$, y acerca de la $60$ de los números primos (de más de $200000000$)$i\ge0$. Este club es un hecho más ", seleccione" si dejas que sólo las grandes $i$ en la: sólo acerca de $30$ ha $i\gt0$.
$51453953(i=0); 126074881(i=1); 115201(i=1)$ cuales son los divisores de Mersenne número $M_n$ donde $n$ es impar, se introdujeron a mí aquí por Pedro Košinár.
Otros chicos que saben que son bienvenidos en el club, si reúnen los requisitos (de más de $4278255361$ y no ya en la lista de los números más grandes de aquí en adelante). V. I. P. acceso al salón para $i>0$ solamente.
Parece que aparte de los números primos de Fermat ellos mismos, el primer divisores de los números de Fermat (como $2424833 (i=5)$) puede proporcionar algunas de las más grandes $i$ valores. Se puede demostrar que el primer divisores de los números de Fermat todos tienen $i\ge0$. ... Por otro lado, parece que el primer divisores de los números de Mersenne del primer índice es muy difícil tener $i\ge0$...
Pero algunos muy grandes $i$ también se obtienen para los números primos que no son divisores de los números de Fermat.
Por ahora, la parte superior 13 es el siguiente:
- N°13: $2424833 (i=5)$
- N°12: $536903681 (i=8)$
- N°11: $65537 (i=10)$
- N°10: $140737471578113 (i=16)$
- N°9: $18446744069414584321 (i=24)$
Su $i$ casi coincide con la de $F_5=2^{2^5}+1 (i=25)$. $F_5$ estaría en el top 10... si fue el primer. Esto me hace pensar de $18446744069414584321$ como una especie de 'error' de Fermat prime, aunque no es un divisor de un Fermat prime. En realidad es $(2^{3.2^5}+1)/F_5$. - N°8: $9444732965601851473921 (i=28)$
- N°7: $604462909806215075725313 (i=31)$
- N°6: $10384593717069655112945804582584321 (i=48)$
- N°5: $2854495385411919762116496381035264358442074113 (i=66)$
- N°4: $182687704666362864775461208552445184771578920961 (i=69)$
- N°3: $11692013098647223345629483497433542615764159168513 (i=72)$
- N°2: $187072209578355573530071639244871112681892570202113 (i=74)$
- N°1: $883423532389192164791648750371459256584513952652893606156996040365965313 (i=110)$ Felicitaciones!
Parece que $Q_{p,j}=(2^{p.2^j}+1)/F_j$$i=2^j-j-2-Floor(Log_2(p))$. Por lo tanto, sólo después de Fermat de los números primos, primos con un gran $i$ deben buscarse entre los $Q_{p,j}$, $p$ tan pequeño como sea posible, siempre que se prime. La pregunta es si el primer $Q_{p,j}$s son menos rarezas que prime $F_j$s... Esto podría ser así, ya que tienen dos índices.
También N°12, N°10 y el top 8 se puede escribir como $p=2^q\pm2^{(q+1)/2}+1$ que es un divisor de a $2^{4q}-1$, gracias a la Aurifeuillean factorización, por lo tanto $ord_p(2)=4q$, $v=(q+1)/2$ y, por tanto, conduce a $i=(q+1)/2 -3 -Floor(Log_2(q))$. Esto puede ser usado para buscar un gran $i$s, cuando los $p=2^q\pm2^{(q+1)/2}+1$ es perfecto para una gran $q$. Los números primos como esto parece mucho más fácil de encontrar que el primer $Q_{p,j}$.
Puede alguien encontrar nuevos primos de los diez mejores, que no son de la $2^q\pm2^{(q+1)/2}+1$ tipo ?
Cualquier no-Proth prime en el club? sí! $262657=513.2^9+1$. Esto probablemente no es el único.. Cualquier Cullen prime en el club? $141.2^{141} + 1$ $i=-4$ , aunque.
prime p / i
- 6487031809 / 2
- 70525124609 / 0
- 190274191361 / 0
- 646730219521 / 0
- 2710954639361 / 1
- 2748779069441 / 1
- 4432676798593 / 1
- 4485296422913 / 0
- 6597069766657 / 1
- 25409026523137 / 0
- 25991531462657 / 2
- 31065037602817 / 0
- 46179488366593 / 0
- 67280421310721 / 0
- 76861124116481 / 1
- 140737471578113 / 16
- 151413703311361 / 1
- 192971705688577 / 1
- 640126220763137 / 0
- 1095981164658689 / 1
- 1238926361552897 / 1
- 18446744069414584321 / 24
- 9444732965601851473921 / 28
- 604462909806215075725313 / 31
- 10384593717069655112945804582584321 / 48
- 2854495385411919762116496381035264358442074113 / 66
- 182687704666362864775461208552445184771578920961 / 69
- 11692013098647223345629483497433542615764159168513 / 72
- 187072209578355573530071639244871112681892570202113 / 74
- 883423532389192164791648750371459256584513952652893606156996040365965313 / 110
