Demostrar que la suma es convergente

Question

Cómo probar que la siguiente suma es convergente? $$\sum_1^\infty\frac{\sin(n + \ln{n})}{n}$$ He intentado utilizar la fórmula $$\sin(n+ \ln{n}) = \sin{n}\cos \ln{n} + \sin \ln{n}\cos{n}$$ and $$\sum_1^N \sin{n} \leq \frac{1}{\sin{1/2}}$$ Pero no puedo hacer cálculos para$\sin{n}\cos \ln{n} $$\sin \ln{n} \cos{n}$.

Answer 1

Considerar por separado los intervalos de $N^2\le n < (N+1)^2$,$N\gg 1$. Para estos $n$, tenemos que $$ |\sin (n+\log n) - \sin (n+\log N^2)| \le \log (n/N^2) \lesssim 1/N \lesssim 1/n^{1/2} , $$ y desde $\sum n^{-3/2}<\infty$, podemos reemplazar $\sin (n+\log n)$ $\sin (n+\alpha_N)$ $n$ actualmente bajo consideración.

Sin embargo, como ya se ha indicado, es fácil para el control de $\sum \sin (n+\alpha)/n$. El uso de sumación por partes y el hecho de que $\sum_{n=N_1}^{N_2}\sin (n+\alpha)=O(1)$, obtenemos que $$ \sum_{N^2\le n<(N+1)^2} \frac{\sin (n+\alpha)}{n} = O(1/N^2) + \sum_{N^2\le n<(N+1)^2} O(1)/n^2 = O(1/N^2) , $$ y este es summable $N$.