Deje $H$ ser un espacio de Hilbert separable. Recordemos que un operador acotado $A : H \to H$ dijo estar de Hilbert-Schmidt si $$\|A\|_{HS}^2 := \sum_{i=1}^\infty \|A e_i\|^2 < \infty$$ donde $\{e_i\}_{i=1}^\infty$ es un ortonormales base para $H$. (El valor de $\|A\|_{HS}$ no depende de la base elegida.)
Supongamos que $A$ es de Hilbert-Schmidt, y deje $\{P_n\}$ ser una secuencia finita de rango ortogonal proyección de los operadores en $H$, de tal manera que $P_n \to I$ fuertemente (es decir, $P_n x \to x$ por cada $x \in H$). Qué $P_n A P_n \to A$ en el de Hilbert-Schmidt norma $\|\cdot\|_{HS}$?
Puedo demostrar esto, bajo la suposición adicional de que $\{P_n\}$ es creciente, es decir,$P_n H \subset P_{n+1} H$. En este caso, podemos elegir una base ortonormales $\{e_i\}$ $H$ tal que para cada $n$, $e_1, \dots, e_{d_n}$ es un ortonormales base para $P_n H$ donde $d_n$ es el rango de $P_n$. Entonces $P_n e_i$ = $e_i$ para $i \le d_n$, e $P_n e_i = 0$ lo contrario, así que podemos escribir $$\|P_n A P_n - A\|_{HS}^2 = \sum_{i=1}^{d_n} \|(P_n - I) A e_i\|^2 + \sum_{i=d_n+1}^\infty \|A e_i\|^2.$$ Como $n \to \infty$, $d_n \to \infty$, y el segundo término tiende a 0 porque es la cola de la serie convergente $\sum \|A e_i\|^2 = \|A\|_{HS}^2$. Para el primer término, tenemos $$\|(P_n - I) A e_i\| \le \|P_n - I\| \|A e_i\| \le 2 \|A e_i\|$$ que es un cuadrado-summable secuencia porque $A$ es de Hilbert-Schmidt. Y para cada una de las $i$ tenemos $\|(P_n - I) A e_i\| \to 0$ desde $P_n \to I$ fuertemente. Así que por el teorema de convergencia dominada, llegamos a la conclusión de que el primer término que también se va a 0.
Sin embargo, sin esta suposición, $P_n e_i$ es el más difícil de abordar, y no veo cómo elaborar una prueba (ni un contraejemplo).
Si ayuda, yo estoy más interesado en el caso de que $A$ es sesgar-adjoint, es decir,$A^* = -A$.
También me gustaría estar interesado en saber si esta declaración aún se mantiene si dejamos caer el supuesto de que $P_n$ son proyecciones ortogonales, y sólo asumir que son finitos rango y convergen fuertemente a $I$.
Gracias!
