Prueba de que un Álgebra de Weyl no es isomorfa a un anillo de matrices sobre un anillo de división

Question

¿Puede alguien demostrar que un Álgebra de Weyl no es isomorfo a un anillo de matrices sobre un anillo de división?

Answer 1

Notación: El álgebra de Weyl es $$k[x_1, x_2, \ldots, x_n, \partial_1, \partial_2, \ldots, \partial_n]$$ con las relaciones obvias.

El álgebra de Weyl no contiene ningún anillo de división mayor que $k$ y es de dimensión infinita sobre $k$ . Así que, asumiendo que no se permiten matrices infinitas, es una prueba.

Cómo ver que no contiene ningún anillo de división mayor que $k$ ? Sólo necesito demostrar que cualquier operador diferencial no constante no es invertible. Una forma de ver esto es notar que multiplicar operadores diferenciales multiplica símbolos, y el símbolo de un operador diferencial no constante es un polinomio no constante.

Answer 2

Una prueba diferente sería demostrar que un álgebra de Weyl no es semisimple, es decir, que no es una suma directa de submódulos simples como módulo de izquierda sobre sí misma. Sin embargo, nótese que existe una cadena descendente infinita de submódulos de izquierda de un álgebra de Weyl dada por $A_n\supseteq A_nd\supseteq A_nd^2\supseteq A_nd^3\supseteq...$ donde $d$ es cualquier elemento no invertible. Una suma directa de un número finito de módulos simples no puede tener una cadena descendente infinita de submódulos. Entonces, por la inversa de Artin-Wedderburn, $A_n$ no es una suma directa de álgebras matriciales sobre un anillo de divisiones.

Por supuesto, mostrar que esta secuencia de submódulos nunca se estabiliza puede hacerse mirando el álgebra graduada asociada, y observando que el $\overline{A_nd^n}$ son siempre distintos allí. Sin embargo, luego esta respuesta comienza a acercarse a la respuesta de David, por lo que tal vez esto no era una prueba verdaderamente diferente.

Answer 3

Esto no es una respuesta a la pregunta original. Sin embargo, está relacionada y creo que vale la pena mencionarla.

Asumiendo que los morfismos de anillo llevan elementos de identidad a elementos de identidad, podemos demostrar lo siguiente para el $n$ :a álgebra de Weyl, con métodos muy básicos.

Elija un número entero positivo arbitrario $n$ y poner $A_n := \mathbb{C}\langle x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n \rangle / I$ donde $I$ es el ideal generado por los elementos $y_1x_1-x_1y_1-1,\ldots,y_nx_n-x_ny_n-1$ y $x_i x_j-x_jx_i, y_i y_j - y_j y_i$ para $i,j \in 1,\ldots,n$ .

Reclamación:
No existe un número entero positivo $m$ y un anillo asociativo, conmutativo y unital $R$ tal que existe un morfismo de anillo

$$ \phi : A_n \to M_m(R).$$

Prueba:
Buscando una contradicción, supongamos que hay alguna $m$ y algún anillo asociativo, conmutativo y unital $R$ tal que $\phi$ existe. Denotemos las imágenes en $M_m(R)$ de $x_1$ respectivamente $y_1$ , bajo $\phi$ , por $A:=\phi(x_1)$ respectivamente $B:=\phi(y_1)$ . La imagen de $1$ será la matriz de identidad $I$ .

Considere el elemento $y_1x_1-x_1y_1=1$ cuya imagen, bajo $\phi$ es igual a

$$ BA-AB=\phi(y_1x_1-x_1y_1)=\phi(1)=I. $$

Por lo tanto, las matrices $A$ y $B$ tienen que satisfacer $BA-AB=I$ . Tomando la traza del lado izquierdo de esta igualdad se obtiene

$$ tr(BA-AB)=tr(BA)-tr(AB)=tr(AB)-tr(AB)=0 $$

mientras que la traza del lado derecho es igual a $tr(I)=m$ . Esto es una contradicción.

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Corolario de la prueba anterior:
La misma afirmación es válida si sustituimos $M_m(R)$ por cualquier álgebra de Banach unital.

Esto se ve fácilmente utilizando el siguiente hecho bien conocido:
El elemento identidad de un álgebra de Banach unital no puede ser un conmutador, es decir $ab-ba\neq 1$ para cualquier elemento $a,b$ del álgebra de Banach.

Esto se aplica al caso $M_m(R)$ con $R=\mathbb{C}$ porque $M_m(\mathbb{C})$ es un álgebra C* unital y, en particular, un álgebra de Banach unital. Así que en este caso particular, esto nos da una forma alternativa de hacer la conclusión deseada sin usar la traza.

Answer 4

Sólo quisiera agregar una simple prueba de que el álgebra de Weyl incluso no TIENEN ninguna (no trivial) finito de representaciones tridimensionales. Ya en el caso n=1, se consideran las relaciones $$[\partial_x,x]=1.$$ Ahora supongamos que tiene un número finito de dimensiones de la representación, y tomar la huella de ambos lados de la anterior.

Esto implica que la identidad actúa como 0 para el conjunto de la representación.

Answer 5

Una matriz de anillo contiene cero divisores.