Esta respuesta sugiere que hay ecuaciones polinómicas explícitas para las que la existencia (o inexistencia) de soluciones enteras es indemostrable. ¿Cómo puede ser esto?
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Edición: Esto ha sido explicado mejor por Joel David Hamkins; cf. este hilo de MO .
Esto es así porque dada cualquier fórmula de primer orden $\phi(x_1, \dots, x_n)$ con $n$ parámetros en los enteros, hay un polinomio $P(x_1, \dots, x_n, z_1, \dots, z_m)$ que se puede demostrar que tiene una raíz en $z_1, \dots, z_m$ en los números enteros si y sólo si $\phi(x_1, \dots, x_n)$ ---esta es una versión de la solución de Matiyasevich al décimo problema de Hilbert.
Ahora bien, es posible construir dentro de cualquier sistema formal fórmulas explícitas de primer orden que no se pueden demostrar ni refutar (por ejemplo, la afirmación "este sistema formal es consistente"). Este es el segundo teorema de incompletitud. Estas fórmulas de primer orden corresponden a polinomios por el primer párrafo.
En particular, se puede demostrar que se puede construir un polinomio $P(z_1, \dots, z_m)$ correspondiente a la afirmación "las matemáticas* son inconsistentes" traducida a una fórmula. Así, si las matemáticas son consistentes, no hay ninguna prueba matemática de que este polinomio no tenga una raíz.
*Matemáticas=ZFC aquí.
Para más información sobre estas líneas, véase el libro muy accesible de Ebbinghaus-Frum-Thomas sobre lógica matemática.
prakash
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La respuesta a esta pregunta depende de cómo se defina el problema, pero la respuesta es no, al menos sin definir el problema de forma engañosa.
Como mi primera solución estaba completamente fuera de lugar, la he borrado y he publicado esta nueva.
Considere el polinomio p. Si tiene una solución entera, entonces la solución será encontrada eventualmente por medio de conjeturas al azar. Por lo tanto, si es imposible demostrar el estado existencial, no debe haber solución.
Ahora sabemos por este enlace que hay un polinomio, q, que es irresoluble en los enteros si ZFC es consistente. Es bien sabido que ZFC no puede demostrar su propia consistencia. Así que si ZFC es consistente, entonces q es irresoluble, pero no podemos demostrar esto ya que entonces podríamos demostrar ZFC. Así que parece que es correcto decir que si las matemáticas son consistentes, tenemos un polinomio sin raíces enteras, pero no podemos demostrarlo. Sin embargo, si asumimos que las matemáticas son consistentes, podemos usar esto para demostrar que la ecuación es irresoluble (de hecho, eso es lo que hemos hecho). Así que, en realidad, no es una afirmación exacta en absoluto.
Para aclarar más, cuando se considera la verdad matemática, hay dos formas básicas de verla. La primera es cuando asumimos que los axiomas son verdaderos, lo que significa necesariamente asumir consistencia. Si demostramos que cualquier problema es equivalente a la consistencia, entonces lo consideramos verdadero.
La otra es aquella en la que consideramos un conjunto formal de enunciados, de los que se han definido los axiomas como verdaderos y vemos qué enunciados se pueden derivar como verdaderos. Desde este punto de vista, no sabemos realmente si los axiomas son consistentes o no. De hecho, el segundo teorema de incompletitud de Godel muestra que ningún sistema atómico "no trivial" puede demostrar su propia consistencia. Así que mostrar que un problema es equivalente a la consistencia es en realidad lo mismo que mostrar que el problema es indemostrable por el sistema atómico.
La confusión viene de asumir que ZFC es consistente para eliminar una posibilidad en una elección, y sin embargo no permitir que esta suposición se use como un axioma en las pruebas.
