¿El corchete de Lie forma parte de la "geometría" intrínseca? ¿Pero lo he visto definido sin métrica...?

Question

He visto dos definiciones del corchete de Lie para una variedad riemanniana $(M,g)$ .

Una es esta : $[X,Y] = D_X Y - D_Y X$ donde $D$ significa diferenciación covariante. Cuando se escribe, parece implicar los símbolos de Christoffel. (Esto está en Tópicos Elementales en Geometría Diferencial de Thorpe).

La otra es ésta: $[X,Y] = XY - YX$ con $(XY - YX)(f) = (X(Y(f)) - Y(X(f))$ . (Y lo de la diferenciación de Y a lo largo del flujo de X.) (Por ejemplo, en Differential Manifolds de Warner).

Así que mi confusión es la siguiente: una expresión parece implicar la métrica, la otra no. ¿Cómo puedo conciliarlo?

Answer 1

Esto está en medio. El segundo es la definición del soporte, y requiere muy poco.

La primera es la definición de una conexión libre de torsión. Esto tampoco requiere una métrica, desde luego no del tipo definida positiva. En física, a menudo se utilizan conexiones que tienen torsión, lo que significa que la ecuación es falsa para algunas conexiones útiles.

La métrica riemanniana aparece en las condiciones definitorias de la conexión Levi-Civita. con torsión libre, añadimos en $$ X \langle Y,Z \rangle = \langle \nabla_X Y,Z \rangle + \langle Y, \nabla_X Z \rangle $$ que se parece mucho a la regla del producto del cálculo inicial.