Suma de Cauchy Secuencias de Cauchy?

Question

Deje $(X,+)$ ser un grupo abelian y $d$ una métrica en $X$. Supongamos $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ son secuencias de Cauchy. Qué condiciones sobre la relación entre el grupo de operación y la métrica son suficientes para mostrar que el $\{a_n+b_n\}$ es de Cauchy? La prueba en $\mathbb{R}$ simplemente se basa en el hecho de que la métrica Euclidiana es inducida por una norma: $$d(a_m+b_m,a_n+b_n)=\|(a_m+b_m)-(a_n+b_n)\|\leq\|a_m-a_n\|+\|b_m-b_n\|$$ Creo que esta prueba funciona tan largo como el triángulo de la desigualdad se relaciona $+$ y la norma que induce $d$.

Creo que un supuesto más débil que aún funciona es si la métrica es la traducción invariante. A continuación,

$$\begin{align*} d(a_m+b_m,a_n+b_n) &\leq d(a_m+b_m,a_n+b_m) + d(a_n+b_m,a_n+b_n) \\ &= d(a_m,a_n) + d(b_m,b_n) \end{align*}$$

Hay más débiles supuestos bajo los cuales la suma es de Cauchy? ¿Qué es un ejemplo en este caso? Hay un ejemplo de un espacio y de Cauchy secuencias cuya suma no es de Cauchy?

Esto probablemente no es una manera estándar de fraseo de la pregunta. Sólo estoy tratando de tira abajo las hipótesis para aclarar mi comprensión. Pensé acerca de esto por un tiempo, pero estaba teniendo problemas para subir con ejemplos.

Answer 1

Una condición suficiente más débil que la traducción de la invariancia es que las traducciones son uniformemente equicontinuous, yo.e que por cada $\epsilon > 0$ hay $\delta > 0$ tal que para todo $x, y, z$, $d(x,y) < \delta$ implica $d(x+z, y+z) < \epsilon$. Para entonces, si $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ son secuencias de Cauchy, tome $N$, por lo que para $n, m > N$, $d(a_n, a_m) < \delta$ y $d(b_n, b_m) < \delta$, y tenga en cuenta que $d(a_n + b_n, a_m + b_m) \le d(a_n + b_n, a_m + b_n) + d(a_m + b_n, a_m + b_m) < 2 \epsilon$.