$f$ es entero y mapea un rectángulo a un rectángulo, entonces $f$ es lineal

Question

El problema está en el asunto, lo tengo por tarea. $f$ es una función de valor complejo. Para completar:

Demostrar que si $f$ es una función entera y para algún rectángulo $R$ la imagen $f(R)$ también es un rectángulo, entonces $f$ es lineal.

La composición de mapas lineales es lineal, por lo que podemos elegir que los dos rectángulos tengan dos aristas coincidentes con los ejes real e imaginario, y su vértice común en el origen. Así que como una porción de la línea real se mapea a sí misma, podemos tomar $f$ para ser la continuación analítica de una función real. Entonces estoy atascado.

Esta pregunta me confunde. Es bien conocido por el teorema de los mapas de Riemann que existen muchas funciones holomorfas que toman cualquier a cualquier otro rectángulo dado. Pero si $f$ es lineal, entonces los dos rectángulos deben ser similares. Así que la restricción añadida de $f$ ser entero parece ser la causa de esta molestia. ¿Qué opinas?

Answer 1

Como ya has comentado, podemos elegir que los dos rectángulos tengan dos aristas coincidentes con los ejes real e imaginario, y su vértice común en el origen.

Ahora, $f$ restringido a $R$ puede extenderse a todo el plano mediante reflexiones de Schwarz, y esta extensión debe ser igual a $f$ desde $f$ se supone que está entero.

Por construcción, es fácil ver que $f$ debe tener crecimiento lineal es decir $$|f(z)| \leq A|z|+B$$ para todos $z$ para algunas constantes $A$ y $B$ . Esto implica que $f$ es lineal, como se ve fácilmente por la fórmula de Cauchy para $f^{(n)}(0)$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que, si su mapa lleva rectángulos a rectángulos, entonces debería notar los siguientes efectos del mapa

i) gira los lados con ángulo $90^{o}$ y reescalarlos y esto significa utilizar el mapa $az$ en general (puedes pensar en los lados del rectángulo como vectores).

ii) el otro efecto del mapa debe ser la traducción.