Operador con adjunto invertible

Question

Sea $X, Y$ sean espacios normados y $T : X \to Y$ acotada y lineal, tal que su adjunto $T^* : X^* \to Y^*$ es limitadamente invertible.

Si $X$ y $Y$ son espacios de Banach, entonces $T$ también es limitadamente invertible, véase, por ejemplo, la respuesta aquí: Mostrar $T$ es invertible si $T'$ es invertible donde $T\in B(X)$ , $T'\in B(X')$

Sin embargo, sospecho que esto no es cierto si $X$ o $Y$ no están completos.

¿Existe un ejemplo sencillo de un no invertible $T$ con invertible $T^*$ ?

Edita: He encontrado algunos ejemplos sencillos por si $X$ no está completa: Sea $X$ sea un subespacio denso y propio de un espacio reflexivo $Z$ . Sea $T = i_{X}: X \to X^{**} = Z^{**}$ y $S = i_{X^*} : X^*=Z^* \to X^{***}=Z^{***} $ sean las incrustaciones canónicas en los biduales. Entonces, se puede demostrar $T^* = S^{-1}$ . Por lo tanto, $T^*$ es invertible, pero $T$ no lo es.

Por lo tanto, sólo el caso $X$ completo, $Y$ no completa queda. Si no me pierdo algo, tenemos que $T$ es (no necesariamente limitadamente) invertible en este caso.

Answer 1

Sí: como usted dice, $T$ es invertible pero la inversa será ilimitada si $Y$ no está completa.

Porque se puede aplicar la misma prueba, para concluir que $T$ es inyectiva y tiene imagen densa. La inversa no puede ser acotada porque si lo fuera podríamos extenderla de $Y$ a su cierre, con inversa $T$ y, a continuación, la imagen de $T$ sería el cierre de $Y$ .

Answer 2

Si $X$ está completo y $Y$ no lo es, entonces $T'$ no puede ser invertible.

Supongamos que $T'$ es invertible, entonces es un operador biyectivo entre espacios de Banach. Por lo tanto $T'$ está acotado por debajo y es un mapa abierto.

1) Puesto que $T'$ está acotada por debajo, entonces por el resultado de esta respuesta $T$ es una cartografía abierta.

2) Puesto que $T'$ es un mapeo abierto por resultado de esta respuesta operador $T''$ está acotada por debajo. En $i_E$ denotamos la incrustación isométrica estándar en el segundo dual, entonces $i_Y T=T'' i_X$ . De aquí se deduce que $T$ también está acotada por debajo.

De 1) y 2) se deduce que $T$ está acotado por debajo y es un mapa abierto, por lo que no sólo es una biyección sino un isomorfismo. Dado que $T$ es un isomorfismo y $X$ es completa, entonces también lo es $Y$ . Contradicción.