En el análisis funcional y teoría de la PDE, estamos interesados en probar la existencia de resultados. Tales resultados se obtienen generalmente en algunos compacto de un espacio para que algunos determinada topología. Y esta es la razón por la que en el análisis funcional, siempre estamos empobreciendo topologías: empezamos fuerte con la topología en, digamos, $E'$, inducida por la norma de $E$; luego tenemos el débil topología $\sigma(E',E'')$ y luego tenemos a la estrella débil topología $\sigma(E',E)$. H. Brézis dijo en un comentario de su libro que el menos abierto establece una topología tiene, el más compacto de los conjuntos de la misma es susceptible de tener. ¿Alguien me puede ayudar a entender más acerca de esta última afirmación?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un espacio topológico X se llama compacto si cada uno de sus abra las cubiertas tiene un número finito de subcover. Es decir, si para cada familia $\left\{ U_\alpha \right\}_{\alpha \in I}$ de abrir conjuntos de $X$ tal que $X = \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha$, podemos encontrar un subconjunto finito $\alpha_1, \dots , \alpha_n \in I$ tal que $X = U_{\alpha_1} \cup \dots \cup U_{\alpha_n}$.
Así, la dificultad para un espacio compacto es el número de posibles abra las cubiertas $\left\{ U_\alpha \right\}_{\alpha \in I}$ se ha: si $X$ tenían sólo uno de estos abra las cubiertas, tendríamos que encontrar uno abierto finito subcover de ella. Para cada abierto de la cubierta añadimos a $X$, tenemos que resolver el problema de encontrar un número finito de abiertos subcover de nuevo.
Pero el número de posibles abra las cubiertas de un espacio depende del número de sus bloques abiertos: el más abierto de los conjuntos de $X$, el más abierto cubre podemos formar con ellos.
Dos ejemplos extremos podrían ser:
- Tomar cualquier espacio de $X$ con la topología trivial (sólo $X$ $\emptyset$ como abrir los conjuntos). Sólo tiene una apertura de la tapa: $X$ sí. Así, es fácil encontrar un número finito de subcover: $X$ sí. Por lo $X$ es un espacio compacto.
- Tomar cualquier espacio de $X$, con un número infinito de puntos, con la topología discreta (cada subconjunto de $X$ es un conjunto abierto). Tenemos allí un montón de abrir las cubiertas. En particular, tenemos la apertura de la tapa de todos los puntos de $X$, $\left\{ \left\{ x\right\} \right\}_{x\in X}$, que tiene no finito subcover. Por lo $X$ no puede ser compacto.
EDIT. Ver el bonito comentario t.b. ha añadido, contando el número de subconjuntos compactos en ambos casos.
