En esta respuesta a una pregunta, se menciona que en la AdS/CFT de la correspondencia, en la cáscara de las amplitudes en los Anuncios lado están relacionados con la shell correlators en el CFT lado.
Puede alguien explicar esto a mí en algunos más (técnica) detalles, tal vez por una exposición de ejemplo?
En primer lugar, un artículo de referencia, por Witten, http://arxiv.org/abs/hep-th/9802150v2.pdf
Voy a tratar de exponer la idea básica, con un plano espacio-tiempo. Supongamos que usted tiene un relativista escalar la teoría del campo, en un plano espacio-tiempo de dominio, con límite. La ecuación de la esfera es :
$$\square \Phi(x) = 0$$ (campos en la cáscara)
Ahora, definir la función de partición
$$Z = e^{−S(\Phi)}$$, where $$S(\Phi) = \int d^nx \,\partial_i \Phi(x)\,\partial^i \Phi(x)$$ is the action for the field $\Phi$
Después de esto, se puede hacer una integración por partes (usando el cado de la ecuación) , y el teorema de Stokes, y se obtiene:
$$S(\Phi) = \int d^nx \, \partial_i \Phi(x)\,\partial^i \Phi(x) = \int d^nx \,\partial_i(\Phi(x)\,\partial^i \Phi(x))$$ $$= \int_{Boundary} d \sigma_i \,(\Phi(x)\,\partial^i \Phi(x)) $$
Ahora, supongamos que el campo $\Phi(x)$ tiene el valor de $\Phi_0(x)$ sobre el límite. A continuación, puede ver que $S$ $Z$ podría considerarse como funcionales de $\Phi_0$, de modo que podríamos escribir $Z(\Phi_0)$:
$$ Z(\Phi_0) = e^{ \,( -\int_{Boundary} d \sigma_i \,(\Phi(x)\,\partial^i \Phi(x)))}$$
Ahora, el verdadero cálculo no es con el plano espacio-tiempo, pero con Anuncios o euclidiana Anuncios,por lo que en su cálculo, debe involucrar a la correcta métricas, pero la idea es la misma.
El último paso es decir que existe una relación entre la Generación de la función de correlación de las funciones de CFT operadores de $O(x)$ viven en la frontera, y la función de partición $Z$
$$<e^{\int_{Boundary} \Phi_0(x) O(x)}>_{CFT} = Z(\Phi_0)$$
El lado derecho y el lado izquierdo términos de esta ecuación debe ser visto como funcionales de $\Phi_0$ Usted puede hacer un desarrollo de estos términos en los poderes de $\Phi_0$, y así tienes todas las correlaciones de funciones para el CFT operadores de $O(x)$
$$<O(x_1)O(x_2)...O(x_n)> \sim \frac{\partial^n Z}{\partial \Phi_0(X_1)\partial \Phi_0(X_2)...\partial \Phi_0(X_n)}$$
Así, los ANUNCIOS de lado, estamos utilizando en la cáscara de las particiones funciones (porque ecuaciones de campo para $\Phi$ está satisfecho)
Ahora, CFT/QFT lado, las correlaciones de las funciones de $<O(x_1)O(x_2)...>$ son, por definición, off-shell funciones de correlación (por transformadas de Fourier, no hay ninguna restricción sobre el impulso). Para conseguir la dispersión de las amplitudes, simplemente tenemos que poner el exterior de las piernas en la cáscara.
La declaración puede ser entendida en términos de la GKPW-fórmula (nombrado después de Gubser, Klebanov, Polyakov y Witten), que hace exactamente eso: se refiere funciones de correlación en el CFT lado (de la frontera) a la cadena de amplitudes en los Anuncios lado (a granel). Suponga que $\phi(\vec{x},z)$ es de campo en la mayor parte, donde $z$ es el llamado "holográfica de coordenadas", que alcanza su CFT-valor $\phi_0$ en el límite en $z=0$. Para algunos Operador $\mathcal{O}(\vec{x})$, el GKPW-fórmula está dada por $$\langle e^{\int d^4x\,\phi_0(\vec{x})\mathcal{O}(\vec{x})}\rangle_{CFT}=\mathcal{Z}(\phi(\vec{x},z)|_{z=0}=\phi_0(\vec{x})).$$
En el lado izquierdo, tiene la función de correlación para el CFT y en el lado derecho, se encuentra la función de partición de la correspondiente teoría de cuerdas, evaluados por el valor de límite de campo.
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