Dimensión de la familia de curvas hiperelípticas

Question

Supongamos que tenemos una curva elíptica E con un punto $P$ de orden $5$ sobre un campo de característica $0$ . Denote $E'$ la curva $E/\langle P\rangle$ . Ahora dejemos que $x$ (resp. $x'$ ) sea una función sobre $E$ (resp. $E'$ ) con un doble polo en $O_{E_1}$ (resp. $O_{E'}$ ) y que $f : E \rightarrow E'$ sea una isogenia de grado 5 con núcleo $\langle P\rangle$ . Ahora dejemos que $U$ sea la función de grado $5$ tal que $x' \circ f = u \circ x$ ( $x$ y $x'$ definir un mapa para $\mathbb{P}^1$ ). Dejamos que $C_f$ denota la curva hiperelíptica sobre $K = k(t)$ donde $T$ es un parámetro libre, definido por la ecuación afín

$$ C_f: y^2 = u(x) - T $$

Si tenemos la siguiente familia de curvas elípticas con $E_U : y^2 +(1-U)xy -Uy = x^3 -Ux^2$ con $(0,0)$ una cuestión de orden $5$ . Luego, por las fórmulas de Vélu (Jacques Vélu, Isogénies entre courbes elliptiques. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 273, 1971) podemos obtener una descripción explícita del morfismo $f$ . Proyección a la $x$ coordenada nos da entonces la siguiente familia de curvas hiperelípticas.

$$ C_5(U,T) : Y^2 = (1-Z)^3 +UZ((1-Z)^3 +UZ^2 - Z^3(1-Z)) - TZ^2(Z-1)^2. $$

Estoy tratando de ver que esta familia es bidimensional (es decir, no es una familia unidimensional disfrazada), he intentado usar los invariantes de Igusa, pero eso se vuelve muy complicado. ¿Alguien tiene una solución?

Answer 1

Creo que he encontrado la respuesta: Queremos mostrar que la familia de curvas de

$ C(U,T) : Y^2 = (1-Z)^3 + UZ((1-Z)^3 + UZ^2 - Z^3(1-Z)) - TZ^2(Z-1)^2 $

cubre todas las clases de isomorfismo de hyperelliptic curvas de género $2$ real con la multiplicación por $[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$. Construimos esta familia de la siguiente manera: Tomar un ellliptic curva de $E$ con un punto racional $P$ orden $5$. Elegir un punto de $T$ $E$ y considerando la imagen $H$ del conjunto de $\{T, T+P, T+2P, T+3P, T+4P\}$ bajo el mapa de $x_1: E \rightarrow \mathbb{P}^1$ donde $x_1$ es una función en $E$ con un doble polo a $O_E$. Ahora la curva de $C(E_T)$ es el doble de la cobertura de $\mathbb{P}^1$ ramificado en los puntos de $H$ y la imagen de $O_E$ bajo $x_1$. Porque toda curva elíptica con un punto de orden $5$ puede ser escrito como

$ E: y^2 + (1-U)xy - Uy = x^3 - Ux^2, $

escribimos $C(E_T) = C(U,T)$.

Primero recordamos un criterio debido a Humbert.

Supongamos que $\pi$ es un mapa de $C$ a un plano cónica $Q$ con los puntos de ramificación $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$$P_6$. A continuación, $C$ real multiplicación por $\mathbb{Z}[\frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$ si y sólo si para algunos pedidos de la rama locus hay un plano cónica $R$ pasando a través de $P_6$ que es tangente a cada uno de los bordes de la pentágono $P_1P_2P_3P_4P_5$.

Supongamos que tenemos una curva de $C$ real con la multiplicación por $\mathbb{Z}[\frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$. Considere los dos cónicas $Q,R$ obtenido a partir de los criterios mencionados anteriormente. Construimos la curva elíptica $E$$E = \{(P,L) \in Q \times R^* | P \text{ lies on } L \}$. Es claro a partir de la construcción que el punto de $(P_1,L_1)$ algunos $P_1 \in L_1$ orden $5$ en la curva de $E$.

Ahora supongamos que tenemos una curva elíptica $E$ con un punto de $P$ orden $5$. Nos proyectamos a una cónica $Q$ y considerar la imagen de $H = \{T,T + P, T + 2P, T + 3P, T + 4P\}$ para un punto de $T \in E$. Ahora tome un pentágono $G$ atravesado por la imagen de $H$ y la construcción de una cónica $R$ inscritos a los lados de $G$. Este cónica $R$ se cruzan $Q$ en algún momento, así que por el criterio anterior es equivalente a un hyperelliptic curva real de la multiplicación por $\mathbb{Z}[\frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$.

Estas dos construcciones son inversas entre ellas, por lo tanto hemos demostrado que cualquier hyperelliptic curva de género $2$ real con la multiplicación por $\mathbb{Z}[\frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$ puede ser escrita en la forma anterior.