¿Dado $f(f(x))$ podemos encontrar $f(x)$?

Question

¿Dada $f(f(x)) = x + 2$ lo hace necesariamente sigue que $f (x) = x + 1$? Esta pregunta viene de un estudiante de precálculo algebra.

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es no. Por ejemplo, si usted está trabajando con la función $f\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ $$f(x)= \begin{casos} x-1; & x\text{ es aún}, \\ x+3; & x\text{ es impar}; \end{casos} $$ es un ejemplo de una función diferente tal que $f(f(x))=x+2$.

Si desea que la función $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$, usted puede simplemente extender esto al poner $f(x)=x+1$ para $x\noen\mathbb Z$.

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Si a usted le gustaría ver un continuo de soluciones diferentes de $x+1$, usted puede usar la función lineal a trozos obtiene por poner $0\mapsto2/3, 2\mapsto2+2/3, 4\mapsto2+2/3, \dots$ y $2/3\mapsto 2, 2+2/3\mapsto 4, 4+2/3\mapsto 6,\dots$

La composición de $f\circ f$ será de nuevo un modelo lineal por tramos y para comprobar que $f(f(x))=x+2$ solo necesita comprobar esto por $x\in2\mathbb Z$ y $x\in\frac23+2\mathbb Z$.

La intuición detrás de esto es que el intervalo $[0,2/3]$ se estira hasta el intervalo $[2/3,2]$ (que tiene el doble de la longitud de la original de intervalo) y $[2/3,2]$ contratado a $[2,2+2/3]$. La misma cosa se hace en otros intervalos de dólares[2 k 2(k+1)]$, $k\in\mathbb Z$.

Answer 2

Respondiendo a la pregunta en el tema: no para todos los f . ¿Considerar f(f(x))) = x ; es f(x) = x o f(x) = -x ?

Answer 3

No.

De hecho, este pertenece a un funcional de la ecuación de la forma http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe/fe2315.pdf.

Deje que $\begin{casos}x=u(t)\\f=u(t+1)\end{casos}$ ,

Entonces $u(t+2)=u(t)+2$

$u(t+2)-u(t)=2$

Por $u_c(t+2)-u_c(t)=0$ ,

$u_c(t)=\theta(t)$ , donde $\theta(t)$ es un arbitrario de funciones periódicas con periodo $2$

Por $u_p(t)$ ,

Deje de $u_p(t)=A$ ,

Entonces $A(t+2)-A\equiv2$

$2A\equiv2$

$\therefore2A=2$

$A=1$

$\por lo tanto u(t)=\theta(t)+t$ , donde $\theta(t)$ es un arbitrario de funciones periódicas con periodo $2$

Por lo tanto $\begin{casos}x=\theta(t)+t\f=\theta(t+1)+t+1\end{casos}$ , donde $\theta(t)$ es un arbitrario de funciones periódicas con periodo $2$

De hecho, $f(x)=x+1$ es sólo un paticular solución al tomar $\theta(t)=0$ .