Cómo calcular la suma de $ 1+a(1+b)+a^2(1+b+b^2)+a^3(1+b+b^2+b^3)+\cdots$

Question

Podría ser posible encontrar la solución para la siguiente serie?

$$ 1+a(1+b)+a^2(1+b+b^2)+a^3(1+b+b^2+b^3)+\cdots$$

Gracias de antemano!

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\sum_{n=0}^\infty a^n\sum_{m=0}^n b^m=\sum_{n=0}^\infty a^n \frac{1-b^{n+1}}{1-b}$$

Se puede terminar?

Answer 2

Desde el OP admitió que no pueden continuar de Dr. MV la idea, me voy a hacer yo:

$$\sum_{n=0}^\infty a^n \frac{1-b^{n+1}}{1-b}=\frac{1}{1-b} \left(\sum_{n=0}^\infty a^n-b \sum_{n=0}^\infty (ab)^n \right)=$$

Aquí se utiliza la serie geométrica, por lo que necesitamos tener $|a|<1$$|ab|<1$: *

$$=\frac{1}{1-b} \left(\frac{1}{1-a}-\frac{b}{1-ab} \right)=\frac{1}{(1-a)(1-ab)}$$

* Corrección debido a Batominovski comentario

Answer 3

Deje $$S = 1+a(1+b)+a^2(1+b+b^2)+a^3(1+b+b^2+b^3)+\cdots$$
También sabemos, $$(1-b)(1+b+b^2+b^3 \cdots +b^n-1) = 1-b^n$$
Ahora empezamos sensación de que habiendo $(1-b)$ como un factor en cada término en la $RHS$ va a crear un "agradable" de la serie.
Así que multiplicando el $LHS$ & $RHS$ por $(1-b)$, obtenemos,
$$S(1-b) = (1-b)+a(1-b^2)+a^2(1-b^3)+a^3(1-b^4)+\cdots $$
Ahora, al ampliar el $RHS$, obtenemos 2 progresiones geométricas,
$$S(1-b) = (1+a+a^2+a^3+\cdots)-(b+ab^2+a^2b^3+a^3b^4+\cdots)$$
La primera serie es un infinito GP ( aquí $|a|<1$ es una restricción) con el primer término es igual a $1$ y la razón común $a$. De modo que la suma de sus partes, $S_1$ (decir) está dada por,
$$S_1 = \frac{1}{1-a}$$
La segunda serie es también una infinita GP ( aquí también, $|ab|<1$ es una restricción). Es el primer término es $b$ y la razón común es $ab$. Es suma, $S_2$ (por ejemplo), está dada por,
$$S_2=\frac{b}{1-ab}$$
La combinación de $S_1$ $S_2$ finalmente,
$$S(1-b) = \frac{1}{1-a} - \frac{b}{1-ab}$$
La simplificación de la $RHS$ y dividiendo ambos lados de la ecuación por $(1-b)$ somos,
$$S = \frac{1}{(1-a)(1-ab)}$$

Answer 4

Una ligera variante que no requiere explícita la cancelación de $1-b$ (por lo que no tiene manija de la $b=1$ de los casos con una continuidad argumento) reorganiza el doble de la suma, a saber. $$\sum_{n=0}^\infty\left(a^n\sum_{k=0}^n b^k\right)=\sum_{k=0}^\infty b^k\sum_{n=k}^\infty a^n=\sum_{k=0}^\infty b^ka^k\frac{1}{1-a}=\frac{1}{\left( 1-a\right)\left( 1-ab\right)}$$ provided $\a la izquierda| a\right| < 1$ and $\left| ab\right| <1$.

Answer 5

Usted tiene $$\sum_{n=0}^\infty \left(a^n\sum_{m=0}^nb^m\right)\text{.}$$ Before determining what this converges to, it is worth establishing for which values of $(a,b)$ converge en todo. A tal fin, considerar la Relación de la Prueba:

$$\left\lvert\frac{a^{n+1}\sum_{m=0}^{n+1}b^m}{a^n\sum_{m=0}^nb^m}\right\rvert=\left\lvert a\left(1+\frac{b^{n+1}}{\sum_{m=0}^nb^m}\right)\right\rvert\to\begin{cases}\lvert ab\rvert&\lvert b\rvert>1\\\lvert a\rvert&\lvert b\rvert=1\\\lvert a\rvert&\lvert b\rvert<1\\\end{cases}$$

Así que converge cuando:

• $\lvert ab\rvert<1$ $\lvert b\rvert>1$
• $\lvert a\rvert<1$ $\lvert b\rvert\leq1$

Y diverge cuando:

• $\lvert ab\rvert>1$ $\lvert b\rvert>1$
• $\lvert a\rvert>1$ $\lvert b\rvert\leq1$

Esta prueba ha sido concluyente cuando:

• $\lvert ab\rvert=1$ $\lvert b\rvert>1$
• $\lvert a\rvert=1$ $\lvert b\rvert\leq1$

Veamos el último caso primero. Si $\lvert a\rvert=1$, entonces usted tiene $\sum_{n=0}^\infty {\pm_n\left(\sum_{m=0}^nb^m\right)}\text{.}$ Los términos de una serie, $\pm_n\left(\sum_{m=0}^nb^m\right)$, no se acercan a $0$ no importa lo $b$ es. Así que la serie va a divergir.

Lo que si $\lvert b\rvert>1$$\lvert a\rvert=\frac{1}{\lvert b\rvert}$? Desde $\lvert b\rvert>1$ podemos escribir $\sum_{m=0}^nb^m=\frac{b^{n+1}-1}{b-1}$, y su serie es $\sum_{n=0}^\infty {\pm_n\left(\frac{b^{n+1}-1}{b^n(b-1)}\right)}\text{.}$ uso de $\lvert b\rvert>1$, los términos de esta serie no converge a $0$, por lo que esta serie iba a ser divergentes.

Ahora sabemos que la única situaciones donde la serie converge son:

• $\lvert ab\rvert<1$ $\lvert b\rvert>1$ (lo que implica,$\lvert a\rvert<1$)
• $\lvert a\rvert<1$ $\lvert b\rvert\leq1$ (lo que implica,$\lvert ab\rvert<1$)

Al $b\neq1$, ambas situaciones dan: $$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty \left(a^n\sum_{m=0}^nb^m\right) &=\sum_{n=0}^\infty a^n\frac{1-b^{n+1}}{1-b}\\ &=\frac{1}{1-b}\left(\sum_{n=0}^\infty a^n-b\sum_{n=0}^\infty (ab)^n\right)\\ &=\frac{1}{1-b}\left(\frac{1}{1-a}-\frac{b}{1-ab}\right)\\ &=\frac{1}{(1-a)(1-ab)}\\ \end{align}$$

Y al$b=1$$\lvert a\rvert<1$, $$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty \left(a^n\sum_{m=0}^nb^m\right) &=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a^n\\ &=\left.\sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dx}x^{n+1}\right|_{x=a}\\ &=\left.\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty x^{n+1}\right|_{x=a}\\ &=\left.\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}-1\right)\right|_{x=a}\\ &=\left.\frac{1}{(1-x)^2}\right|_{x=a}\\ &=\frac{1}{(1-a)^2}\\ \end{align}$$

Que convenientemente se está de acuerdo con la fórmula $\frac{1}{(1-a)(1-ab)}$.