Polchinski Ejercicio 2.2, puedo demostrar que una función es armónica mediante la aplicación de $\partial\bar{\partial}$?

Question

Yo estoy trabajando en el siguiente ejercicio:

Ejercicio 2.2: Trabajar de manera explícita la expresión $$:X^{\mu_1}(z_1, \overline{z}_1) \dots X^{\mu_n}(z_n, \overline{z}_n): \qquad \qquad\qquad $$ $$ \qquad = X^{\mu_1}(z_1, \overline{z}_1) \dots X^{\mu_n}(z_n, \overline{z}_n) + \sum \text{subtractions} \tag{2.2.5}$$ para el normal-ordenó producto de cuatro $X^\mu$ campos. Demostrar que es un armónico de la función de cada una de las posiciones.

Mi progreso hasta ahora es la siguiente:

Tenemos$$G = \, : X^{\mu_1}(z_1, \overline{z}_1) X^{\mu_2} (z_2, \overline{z}_2) X^{\mu_3}(z_3, \overline{z}_3) X^{\mu_4} (z_4, \overline{z}_4) :\, = G_1 + G_2 + G_3,$$ donde$$G_1 = X^{\mu_1} (z_1,\overline z_1) X^{\mu_2} (z_2,\overline z_2) X^{\mu_3} (z_3,\overline z_3) X^{\mu_4} (z_4,\overline z_4),$$$$G_2 = {\alpha\over 2} \eta^{\mu_1\mu_2} \log |z_1-z_2|^2 X^{\mu_3} (z_3,\overline z_3) X^{\mu_4} (z_4,\overline z_4) + {\rm permutaciones},$$$$G_3 = {\alpha^{\prime 2}\over 4} \eta^{\mu_1\mu_2} \eta^{\mu_3\mu_4} \log |z_1-z_2|^2 \log |z_3-z_4|^2 + {\rm permutations}.$$

Para mostrar que esta es una función armónica en, por ejemplo,$z_1$, no es simplemente suficiente para aplicar $\partial_1\overline\partial_1$?

Answer 1

La aplicación de $\partial_1\overline{\partial}_1$, tenemos los siguientes.

Primer plazo:$$\partial_1\overline\partial_1 G_1 = -\pi\alpha \eta^{\mu_1\mu_2} \delta^2 (z_1-z_2,\overline z_1-\overline z_2) X^{\mu_3} (z_3,\overline z_3) X^{\mu_4} (z_4,\overline z_4) $$$$+\text{ } {\rm permutations~of~indices~} (2,3,4).$$In the second term, $z_1$ can be the logarithm or in $X^{\mu_1}$, so we obtain two sets of contributions:$$\partial_1\overline\partial_1 G_2 = \pi\alpha \eta^{\mu_1\mu_2} \delta^2 (z_1-z_2,\overline z_1-\overline z_2) X^{\mu_3} (z_3,\overline z_3) X^{\mu_4} (z_4,\overline z_4) - {\pi \alpha^{'2}\over 2} \eta^{\mu_1\mu_2} \eta^{\mu_3\mu_4}\delta^2 (z_1-z_2,\overline z_1-\overline z_2)\log |z_3-z_4|^2 + {\rm permutaciones~de~índices~} (2,3,4).$$Third term:$$\partial_1\overline\partial_1 G_3 = {\pi \alpha^{\prime 2}\over 2} \eta^{\mu_1\mu_2} \eta^{\mu_3\mu_4}\delta^2 (z_1-z_2,\overline z_1-\overline z_2)\ln |z_3-z_4|^2$$$$+ \texto{ }{\rm permutaciones~de~índices~} (2,3,4).$$Adding, it is easily seen that$$\partial_1\bar\partial_1 G = \partial_1\overline\partial_1 G_1 + \partial_1\overline\partial_1 G_2 + \partial_1\overline\partial_1 G_3 =0.$$