Identidades con hiperbólicas inversas y funciones trigonométricas, como $\tanh^{-1} (\cos a)+\tanh^{-1} (\cos b)=\tanh^{-1} (\cos c)$

Question

Este fue un descubrimiento sorprendente para mí que las identidades como este existen:

$$\tan \frac{c}{2}=\tan \frac{a}{2}\tan \frac{b}{2} \qquad \rightarrow$$

$$\tanh^{-1} (\cos c)=\tanh^{-1} (\cos a)+\tanh^{-1} (\cos b)$$

Este es un muy bien conocido, y puede ser probado por hacer sustituciones:

$$u=\tan \frac{a}{2}, \qquad v=\tan \frac{b}{2}$$

Otro, muy interesante, existe uno (probado en la misma manera):

$$\tan \frac{c}{2}=\frac{\tan \frac{a}{2}-\tan \frac{b}{2}}{\tan \frac{a}{2}+\tan \frac{b}{2}} \qquad \rightarrow$$

$$\tanh^{-1} (\sin c)=\tanh^{-1} (\cos b)-\tanh^{-1} (\cos a)$$

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¿Qué otras identidades como este existen?

¿Cuál es la interpretación de dichas identidades en términos de:

• Los números complejos
• La geometría

O es sólo un coincidense con ningún significado particular?

Answer 1

No estoy seguro si este es el tipo de cosa que usted está después.

$\displaystyle \tanh^{-1}(y) = \frac1{2} \ln \left( \frac{1+y}{1-y} \right)$

El uso de $\displaystyle \cos(x) = 2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) - 1$ consigue:

$\displaystyle \tanh^{-1}(\cos(x)) = -\ln \left( \tan\left( \frac{x}{2} \right) \right)$

Por lo que el $\displaystyle \tanh^{-1}(\cos(x))$ términos logarítmicos propiedades wrt $\displaystyle \tan \left( \frac{x}{2} \right)$.

Esto explica la suma de $\displaystyle \tanh^{-1}$ términos de producción de un producto en $\displaystyle \tan$ términos.

También implica que los términos pueden ser añadidos a la derecha de la $\displaystyle \tanh^{-1}$ ecuación y el correspondiente $\displaystyle \tan$ términos multiplicados a la derecha de la $\displaystyle \tan$ ecuación.