Como correctamente indica en los comentarios, este problema podría ser resuelto (sólo en el escenario simplificado descrito en el OP) considerando que, una vez que hemos centrado la moneda dentro de una esfera, el punto de contacto de la moneda con la tierra que se identifica un determinado radio de la esfera, orientado verticalmente y la normal a la superficie de aterrizaje. Desde cualquier radio que pasa por el centro de masa de la moneda, que radio necesariamente apunta hacia la cara en la cual la moneda por último de la tierra. Esto puede ser mejor visualizadas por considerar el caso en el que la moneda toca la superficie de manera que el radio exactamente apunta hacia uno de sus bordes. Aquí está una figura de la sección cilíndrica de la moneda (amarillo), representado inscrito en la esfera (verde). Por simplicidad, se utiliza una esfera cuyo radio es igual a la diagonal de la sección rectangular del cilindro (sin embargo, como ya se señaló en los comentarios, el radio de la esfera no importa). En la sección, la ronda de las caras de la moneda corresponden a $a$$a'$, y su superficie lateral corresponde a $b$.
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Si la moneda toca la superficie de aterrizaje con su borde, su centro de masa está alineado con la vertical de la radio. En este caso, en el escenario simplificado (sin rebotar, no se mueve por inercia, y así sucesivamente), corresponde a la única posibilidad teórica de que la moneda permanecería en equilibrio sobre su borde. Por otro lado, si el radio hacia los puntos de la circular de la cara correspondiente a $a$ (es decir, si el centro de masa está por encima de esta cara), la moneda va a la tierra, finalmente aquí. Del mismo modo, si el radio hacia los puntos de la superficie lateral correspondiente a $b$ (es decir, si el centro de masa está sobre la superficie), la moneda va a la tierra, finalmente aquí. Las mismas consideraciones pueden hacerse en el simétrica caso de que la moneda toca la superficie de aterrizaje en el otro extremo, entre las $a'$$b$.
Por lo tanto, con el fin de tener probabilty igual a $1/3$ que la moneda cae en la superficie lateral $b$, tenemos que calcular el $b$, de modo que la superficie de cada uno de los dos casquetes esféricos correspondiente a $a$ $a'$ es igual a $1/3$ del total de la superficie de la esfera. La superficie de un casquete esférico es $2 \pi R h$ donde $R$ es el radio de la esfera y el $h$ es la altura de la tapa. En nuestro caso, tenemos $h=(2R-b)/2$, de modo que la superficie de cada uno de los dos casquetes esféricos es $\pi R (2R-b)$. La configuración de este igual a $\displaystyle \frac{4}{3} \, \pi R^2$ obtenemos
$$\pi R (2R-b)=\frac{4}{3} \, \pi R^2$$
de la que podemos obtener
$$b=\frac{2}{3} R$$
Para calcular el $a$, podemos simplemente tenga en cuenta que $a^2 + b^2=(2R)^2$, por lo que
$$a^2=4R^2- \frac{4}{9} \, R^2=\frac{32}{9} \, R^2$$
a partir de la cual
$$a=\frac{4}{3} \sqrt2 R$$
Por último, debido a que el radio de la moneda es $\displaystyle a/2=\frac{2}{3} \sqrt2 \, R$, podemos concluir que, para obtener una probabilidad igual de aterrizaje entre las tres caras, la relación entre el radio de la moneda y su espesor debe ser $\sqrt2$.
De nuevo, se debe señalar que estos cálculos no puede ser considerado como válido en un escenario realista, donde un número de factores de confusión que contribuyen a determinar la manera final de aterrizaje.
