Ejemplos de pairewise independiente, pero no independiente de variables aleatorias continuas

Question

Considerando el conjunto de $\{1,2,3,4\}$, uno puede fácilmente con un ejemplo (atribuido a S. Bernstein) de pares de independiente, pero no independiente de las variables aleatorias.

Counld a nadie dar un ejemplo con variables aleatorias continuas?

Answer 1

Deje $x,y,z'$ se distribuye normalmente, con $0$ de media. Definir $$z=\begin{cases} z' & xyz'\ge 0\\ -z' & xyz'<0\end{cases}$$ El resultado $x,y,z$ siempre satisfará $xyz\ge 0$, pero se de a pares independientes.

Answer 2

Una respuesta de la mina en las estadísticas.SE da esencialmente la misma respuesta que la dada por vadim123.

Considerar tres estándar normal de las variables aleatorias $X,Y,Z$ cuya probabilidad conjunta función de densidad de $f_{X,Y,Z}(x,y,z)$ no $\phi(x)\phi(y)\phi(z)$ donde $\phi(\cdot)$ es el estándar de densidad normal, sino más bien

$$f_{X,Y,Z}(x,y,z) = \begin{cases} 2\phi(x)\phi(y)\phi(z) & ~~~~\text{if}~ x \geq 0, y\geq 0, z \geq 0,\\ & \text{or if}~ x < 0, y < 0, z \geq 0,\\ & \text{or if}~ x < 0, y\geq 0, z < 0,\\ & \text{or if}~ x \geq 0, y< 0, z < 0,\\ 0 & \text{otherwise.} \end{casos}\etiqueta{1}$$

Podemos calcular la densidad conjunta de cualquier par de variables aleatorias, (decir $X$$Z$) mediante la integración de la articulación de la densidad con respecto a el no deseado de la variable, es decir, $$f_{X,Z}(x,z) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,Z}(x,y,z)\,\mathrm dy. \etiqueta{2}$$

• Si $x \geq 0, z \geq 0$ o si $x < 0, z < 0$, luego $f_{X,Y,Z}(x,y,z) = \begin{cases} 2\phi(x)\phi(y)\phi(z), & y \geq 0,\\ 0, & y < 0,\end{casos}$ and so $(2)$ se reduce a $$f_{X,Z}(x,z) = \phi(x)\phi(z)\int_{0}^\infty 2\phi(y)\,\mathrm dy = \phi(x)\phi(z). \etiqueta{3}$$

• Si $x \geq 0, z < 0$ o si $x < 0, z \geq 0$, luego $f_{X,Y,Z}(x,y,z) = \begin{cases} 2\phi(x)\phi(y)\phi(z), & y < 0,\\ 0, & y \geq 0,\end{casos}$ and so $(2)$ se reduce a $$f_{X,Z}(x,z) = \phi(x)\phi(z)\int_{-\infty}^0 2\phi(y)\,\mathrm dy = \phi(x)\phi(z). \etiqueta{4}$$

En resumen, $(3)$ $(4)$ muestran que $f_{X,Z}(x,z) = \phi(x)\phi(z)$ para todos los $x, z \in (-\infty,\infty)$ $X$ $Z$ (pairwise) independiente aleatoria normal estándar de las variables. Similar cálculos (se deja como ejercicio para el desconcertado el lector) muestran que $X$ $Y$ (pairwise) independiente aleatoria normal estándar de las variables, y $Y$ $Z$ también son (pairwise) independiente aleatoria normal estándar de las variables. Pero $X,Y,Z$ son no mutuamente independientes normal de las variables aleatorias. De hecho, su articulación densidad de $f_{X,Y,Z}(x,y,z)$ no es igual el producto $\phi(x)\phi(y)\phi(z)$ de sus densidades marginales para cualquier elección de $x, y, z \in (-\infty,\infty)$

Answer 3

La continua analógica de los Bernstein ejemplo: Dividir la unidad de cubo en ocho congruentes subcubos de lado de longitud $1/2$. Seleccione cuatro de estos cubos: Subcubo #1 tiene un vértice en $(x,y,z)=(1,0,0)$, subcubo #2 tiene un vértice en $(0,1,0)$, subcubo #3 tiene un vértice en $(0,0,1)$, y subcubo #4 tiene un vértice en $(1,1,1)$. (Para visualizar esto, usted tiene dos capas de cubos: la capa inferior tiene dos cubos en una diagonal de formación, y la capa superior tiene dos cubos en la diagonal opuesta a la formación.)

Ahora vamos a $(X,Y,Z)$ ser uniforme a lo largo de estos cuatro cubos. Claramente $X, Y, Z$ no son mutuamente independientes, pero cada par de variables $(X,Y)$, $(X,Z)$, $(Y,Z)$ es uniforme sobre la unidad de la plaza (y por lo tanto independiente).