¿Cómo se resuelve esta integral definida?

Question

$$\int_0^{2\pi} \frac{dx}{\sin^{4}x + \cos^{4}x}$$

Ya no me han solucionado el integral indefinido por transformación de $\sin^{4}x + \cos^{4}x$ como sigue:

$\sin^{4}x + \cos^{4}x = (\sin^{2}x + \cos^{2}x)^{2} - 2\cdot\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x = 1 - \frac{1}{2}\cdot\sin^{2}(2x) = \frac{1 + \cos^{2}(2x)}{2}$,

y entonces usando la substitución de $\tan(2x) = t$. Pero si hago lo mismo con la integral definida, ambos límites de la integral a ser $0$.

Answer 1

Que $z=e^{i x}$; entonces $dx = -i dz/z$ y el integral es igual a

$$-i 8 \oint_{|z|=1} dz \frac{z^3}{z^8 + 6 z^4+1}$$

Por el teorema del residuo, la integral es igual a $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos en cada poste dentro del círculo unidad. El residuo en cada polo $z_k$ es igual a

$$-i 8 \frac{z_k^3}{8 z_k^7 + 24 z_k^3} = -i \frac1{z_k^4+3}$$

Cada poste $z_k$ dentro del círculo unidad satisface $z_k^4+3=2 \sqrt{2}$, por lo que la integral es, por tanto

$$2 \pi \frac{4}{2 \sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} \pi$$

Answer 2

Tenemos $\displaystyle\cos^4x+\sin^4x=(\cos^2x+\sin^2x)^2-2\cos^2x\sin^2x=1-2\cos^2x\sin^2x$

$\displaystyle=\frac{2-\sin^22x}2=\frac{2(1+\tan^22x)-\tan^22x}{2\sec^22x}=\frac{\tan^22x+2}{2\sec^22x}$

$$\int\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}=\int\frac{2\sec^22x}{\tan^22x+2}dx$$

Ajuste $\tan2x=u,$ % $ $$\int\frac{2\sec^22x}{\tan^22x+2}dx=\int\frac{du}{u^2+(\sqrt2)^2}=\frac1{\sqrt2}\arctan\left(\frac u{\sqrt2}\right)+K$

$$\implies \int\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}=\frac1{\sqrt2}\arctan\left(\frac{\tan2x}{\sqrt2}\right)+K\ \ \ \ (1)$$

Ahora $\displaystyle\tan2x=0\iff 2x=n\pi\iff x=\frac{n\pi}2$ $n$ Dónde está cualquier número entero

Establecer que \int_0^ {2a} $$ f (x)dx = \begin{cases} 2\int_0^af(x)dx &\mbox{if } f(2a-x)=f(x) \\ 0 & \mbox{if } f(2a-x)=-f(x) \end{casos} $$

Ajuste del $2a=2\pi\iff a=\pi$ y $\displaystyle f(x)=\cos^4x+\sin^4x$

$\displaystyle\cos(2\pi-x)=\cos x,\sin(2\pi-x)=-\sin x\implies f(2\pi-x)=f(x)$

$$\implies I=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}=2\int_0^{\pi}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}$$

Otra vez ajuste $\displaystyle2a=\pi\iff a=\frac\pi2$

$\displaystyle\cos(\pi-x)=-\cos x,\sin(\pi-x)=+\sin x\implies f(\pi-x)=f(x)$

$$\implies I=2\int_0^{\pi}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}2=2\cdot2\int_0^{\dfrac\pi2}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}$$

Finalmente ajuste $\displaystyle2a=\frac\pi2\iff a=\frac\pi4$

$\displaystyle\implies\cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin x,\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x$ $\displaystyle\implies f(x)=f\left(\frac\pi2-x\right)$

$\displaystyle\implies I=4\cdot2\int_0^{\dfrac\pi4}\frac{dx}{\cos^4x+\sin^4x}$

De $\displaystyle(1),I=8\left[\frac1{\sqrt2}\arctan\left(\frac{\tan2x}{\sqrt2}\right)+K\right]_0^{\frac\pi4}=\frac8{\sqrt2}\left(\frac\pi2-0\right)$

Answer 3

Tenga en cuenta que $\tan 2x$ es discontinua en a $\frac{\pi}4$ y algunos otros valores que pueden ser fácilmente encontrados.

Usted tiene que romper la integral de $0$ $\frac{\pi}4$y así sucesivamente.