¿Cuáles son algunos de los principales problemas abiertos en la teoría de categorías? Sólo por curiosidad, me interesa la teoría de las categorías.
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jmans
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Depende realmente de lo que se entienda por problema abierto en la teoría de las categorías. Con esto quiero decir que hay que distinguir claramente entre la investigación que emplea el lenguaje categórico y la investigación de la teoría de las categorías. La razón es muy sencilla: la teoría de categorías es un lenguaje muy utilizado para hablar de matemáticas. Esto es muy parecido a lo que ocurre con la teoría de conjuntos. La teoría de conjuntos es el lenguaje habitual que utilizamos para hablar de matemáticas. Prácticamente cualquier obra matemática contendría algunos elementos de la teoría de conjuntos, simplemente como el vocabulario que compone el lenguaje. ¿Significa eso que cualquier problema de investigación pertenece a la teoría de conjuntos? Por supuesto que no. Eso sería como decir que el problema de investigación "¿Qué desayunó exactamente Napoleón el día de su muerte?" (que es un problema de investigación tanto en la historia reciente nonsenseológica como en los estudios culinarios políticos nonsenseológicos) pertenece al estudio de la lengua inglesa. Eso sí que es un disparate.
Así, los problemas de investigación que utilizan en gran medida el lenguaje y la maquinaria de la teoría de las categorías pueden incluir cosas como la hipótesis del cobordismo y sus variantes. Otros problemas de este tipo serían los de la teoría de las categorías modelo (es decir, el álgebra homotópica). El libro de Hovey "Model categories" tiene una lista bastante larga de problemas abiertos en el área, algunos de los cuales ya fueron resueltos pero muchos siguen abiertos. Los problemas de investigación que son más puramente de teoría de categorías (aunque están motivados por las aplicaciones, por supuesto) deben incluir el área de investigación muy activa conocida como teoría de categorías superiores. Esto incluye el inmenso trabajo de Lurie sobre la teoría de topos superiores, así como el de muchos otros colaboradores que trabajan en ideas unificadoras en la teoría de categorías superiores. El nLab es un muy buen lugar para leer sobre estos temas.
También se puede mencionar el reciente trabajo sobre la teoría de tipos de homotopía, un nuevo fundamento de las matemáticas. Contiene aspectos de los dos tipos de problemas de investigación mencionados anteriormente.
Espero que esto te sirva para empezar a buscar información más concreta.
