¿Qué podemos decir acerca de un paquete del vector con paquete de esfera unidad trivial?

Question

Si desea evitar que la historia posterior a esta pregunta, siéntase libre para saltar los párrafos entre las líneas horizontales.

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Ayer Georges Elencwajg me hizo la siguiente pregunta (estoy parafraseando): ¿qué podemos decir acerca de un vector bundle con el trivial de la unidad de la esfera paquete? Yo le dije que si el paquete tenía rango de $k$, luego de la trivialidad de la unidad de la esfera paquete de da $k-1$ linealmente independientes secciones de la agrupación. Esto no es cierto, o más precisamente, el razonamiento que me llevan a hacer la afirmación es falsa. Me permiten elaborar.

Deje $\pi : E \to M$ ser un rango de $k$ real vector paquete en un colector $M$. Si $E$ es trivial, hay un isomorfismo de vector de paquetes de $\Psi : E \to M\times\mathbb{R}^k$ y, a continuación, $r_i(x) = \Psi^{-1}(x, e_i)$ $i = 1, \dots, k$ es una colección de linealmente independientes global de las secciones.

Ahora vamos a $SE$ ser la unidad de la esfera paquete dado por algunos métrica de Riemann en $E$. A continuación, $SE$ $S^{k-1}$ fibra paquete de más de $M$. Si $SE$ es trivial, hay un isomorfismo de haces de fibras $\Phi : SE \to M\times S^{k-1}$. Mi pensamiento era que $e_i \in S^{k-1}$, por lo que, como antes, podemos definir a la $s_i(x) = \Phi^{-1}(x, e_i)$ y estos serían linealmente independientes global secciones - si esta realmente trabajado, me gustaría obtener $k$ secciones en vez de la $k - 1$ había mencionado a Georges.

Entonces, ¿qué hay de malo con el enfoque en el párrafo anterior? Así, en el caso de que $E$ era trivial, la independencia lineal de $r_i$ se basó en la linealidad de la $\Psi$ cuando se limita a las fibras. En particular, es importante que $\Psi$ fue un vector paquete de isomorfismo en lugar de un paquete de fibra de isomorfismo (este último no requiere de linealidad en las fibras). En el caso de la esfera paquete, nosotros no tenemos tal linealidad condición (y no podía posiblemente $S^{k-1}$ no es un espacio vectorial), por lo que no podemos concluir mucho acerca de las secciones $s_i$, excepto que son la nada, cero.

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Así que la pregunta sigue siendo

¿Qué podemos decir acerca de un vector bundle con el trivial de la unidad de la esfera paquete?

Answer 1

La clasificación de espacio para $S^k$ paquetes se $\mathrm{BDiff}(S^k)$. Consulte este artículo de introducción por Hatcher en lo que se conoce acerca de estos:

Para $k \leq 3$ se sabe que $\mathrm{Diff}(S^k) \simeq O(k+1)$ bajo la inclusión de mapas, con el caso de $k = 3$ debido a Hatcher, por lo que un trivial $S^k$ paquete implica que el vector original paquete es trivial para $k \leq 3$.

El homotopy tipo de $\mathrm{Diff}(S^4)$ no se conoce.

Actualización:

Sin embargo, como se indicó en el artículo, tenemos $\mathrm{Diff}(S^k) \simeq O(k+1) \times \mathrm{Diff}(D^k\ rel\ \partial)$ (de nuevo, en el mapa?), lo que implica $B\mathrm{Diff}(S^k) \simeq BO(k+1) \times B\mathrm{Diff}(D^k\ rel\ \partial)$, lo que implica que si una esfera paquete que viene de un vector paquete es trivial, entonces el vector original paquete es trivial (todos suponiendo que el ? por encima).

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Trabajando en $\mathrm{Diff}(S^k) \simeq O(k+1) \times \mathrm{Diff}(D^k\ rel\ \partial)$:

Hatcher, en su prueba de que $\mathrm{Diff}(S^3) \simeq O(4)$ indica que es "bien conocido y fácilmente demostrado."

Considerar el punto de $p = (0,0,\ldots,0,1) \in S^k \subset \mathbb{R}^{k+1}$ y deje $\mathrm{incl}: S^k \hookrightarrow \mathbb{R}^{k+1}$ ser el estándar de la inclusión. Uno se $f: \mathrm{Diff}(S^k) \rightarrow GL_{k+1}(\mathbb{R})$$\phi \mapsto [d(\mathrm{incl}\circ\phi)_p |\, \mathrm{incl}\circ\phi(p)]$, donde esta última es un bloque de la matriz con $\mathrm{incl}\circ\phi(p)$ un vector columna. Es decir, el mapa es "evaluar la derivada en un punto y se acuestan por el vector normal" (también discutido por Hatcher en el documento mencionado).

A continuación tenemos $GL_{k+1}(\mathbb{R}) \simeq O(k+1)$ por bacterias Gram-Schmidt.

Llegamos $f \circ \iota = \mathrm{id}_{O(k+1)}$ $\iota: O(k+1) \hookrightarrow \mathrm{Diff}(S^k)$ la inclusión, por lo que, al menos hasta ahora tenemos la "compatibilidad con el mapa de $O(k+1)$" que teníamos anteriormente.

El mapa de $f$ es un fibration con fibra "diffeomorphisms de $S^k$ que arreglar $p$ $d\phi_p = I$" que es homotopy equivalente a $\mathrm{Diff}(D^k\ rel\ \partial)$.

No estoy muy seguro de cómo lo conseguimos homotopy equivalente a la del producto.