La siguiente expresión:
$$\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}$$
debería simplificarse a:
$$\frac{1}{\sqrt{4+h}+2}$$
(aunque no estoy de acuerdo en que esta segunda sea más sencilla que la primera).
El problema es que no tengo ni idea del primer paso para simplificar eso.. ¿alguna ayuda?
Es realmente sencillo. Hagamos lo más intuitivo, multiplicar numerador y denominador con lo que quieras tener en denominador. Se obtiene: $$ \frac{(\sqrt{4+h} - 2)(\sqrt{4+h} + 2)}{h(\sqrt{4+h}+2)} $$ Entonces observa que el numerador tiene una diferencia de cuadrados. Multiplique el numerador fácilmente usando eso y entonces su izquierda con $$\frac{h}{h(\sqrt{4+h}+2)}$$ Asume que $ h \neq 0 $ y deshacerse de él.
HINT $\rm\displaystyle\quad\quad g^2 = 4+h\ \ \Rightarrow\ \ \frac{g-2}h\ =\ \frac{g-2}{g^2-4}\ =\ \frac{1}{g+2}$
Por lo general, la "simplificación" es la inferencia opuesta, conocida como racionalizando el denominador.
¿Es ese paso $\frac{g-2}{g²-4}$ ¿correcto? Si se multiplica g+2 hacia arriba y hacia abajo, se obtiene $\frac{g²-4}{h(g+2)}$ y no puedes seguir desde aquí
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Las palabras mágicas son "multiplicar por el conjugado". Por si sirve de algo, yo prefiero la primera forma a la segunda. Me parece que es más fácil mantener los radicales fuera de los denominadores, así que llamaría a la primera la simplificación, no a la segunda.
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Prefiero esto último porque se elimina la singularidad extraíble. Pero también soy propenso a decir $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt 2}$ en lugar de $\frac{\sqrt 2}{2}$ . @Tom: Un uso importante de esta "simplificación" es que la última expresión indica cómo la expresión original puede extenderse continuamente a $h=0$ . Esto permite determinar que la pendiente de la línea tangente a la curva $y=\sqrt x$ en el punto $(4,2)$ es $\frac{1}{4}$ . Si aún no ha aprendido los derivados, estas ideas se explican en el siguiente artículo: es.wikipedia.org/wiki/Derivada