Cómo probar $n$ ¿es primordial?

Question

Dejemos que $n \gt 1$ y $$\left\lfloor\frac n 1\right\rfloor + \left\lfloor\frac n2\right\rfloor + \ldots + \left\lfloor\frac n n\right\rfloor = \left\lfloor\frac{n-1}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor + \ldots + \left\lfloor\frac{n-1}{n-1}\right\rfloor + 2$$ y $\lfloor \cdot \rfloor$ es la función suelo. Cómo demostrar que $n$ ¿es un primo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Usted sabe que

$$\left( \left\lfloor\frac n 1\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-1}{1}\right\rfloor \right)+\left( \left\lfloor\frac n2\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor\right) + \ldots + \left( \left\lfloor\frac{n}{n-1}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-1}{n-1}\right\rfloor\right) + \left\lfloor\frac n n\right\rfloor=+2 \,.$$

Usted sabe que

$$\left( \left\lfloor\frac n 1\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-1}{1}\right\rfloor \right)=1$$ $$\left\lfloor\frac n n\right\rfloor =1$$ $$\left( \left\lfloor\frac n k\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor\right) \geq 0, \qquad \forall 2 \leq k \leq n-1 \,.$$

Como suman 2, los últimos deben ser iguales, por lo que para todos $2 \leq k \leq n-1$ tenemos

$$ \left\lfloor\frac n k\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor = 0 \Rightarrow \left\lfloor\frac n k\right\rfloor = \left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor $$

Es fácil demostrar que esto significa que $k \nmid n$ . Como esto es cierto para todos los $2 \leq k \leq n-1$ has terminado.

Answer 2

Tengo una pregunta si defino la función $ \sigma (x)= \sum_{n=1}^{x}d $ y 'd' es el divisor de la función no es el problema $ \sigma(x)=\sigma(x-1)+2 $