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¿Qué es una buena manera de pensar en un campo fundamental en un G-paquete del Director?

Deje $\pi:P \rightarrow M$ principal $G$-bundle, y deje $A \in \mathfrak{g}$, donde la Mentira álgebra de $G$ está indicado. El campo fundamental $A$# se utiliza para definir las conexiones está dada por

$A$#$(p) := \frac{d}{dt}(\exp(At)p)|_{t=0}$.

$A$# está bien definido desde $e^{At}p$ puede ser considerado como un vector en un $\pi^{-1}(\pi(p))$. Intuitivamente, trato de pensar de $A$# como (vertical) la dirección de desplazamiento en la fibra generado por $A$.

Por la definición de propiedades de los principales paquetes (en particular, la acción libre de $G$), tenemos $\{A$# $: A \in \mathfrak{g}\} \simeq \mathfrak{g} \simeq \mathcal{V}(p)$ donde $\mathcal{V}(p)$ es la vertical subespacio en $p$. Algo como

$A$#$(p) = \lim_t t^{-1}(e^{At}p - p) = A \cdot p$

sería (para mí) una buena manera de pensar acerca de la $A$#$(p)$, excepto que esta es (en el mejor), una igualdad formal. Más precisamente, $L_{\exp(At)}$ es el parámetro 1-el grupo de diffeomorphisms generado por $A$#, donde $L_g$ indica a la izquierda la multiplicación por $g$.

Mi pregunta: ¿hay una mejor manera de pensar acerca de un campo fundamental de lo que (ya sea la propia definición) o el importe de la ecuación anterior?

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mreggen Puntos 2940

No estoy seguro de que yo estoy diciendo nada nuevo (así que por favor vote esta abajo si usted está de acuerdo):

Un "campo fundamental" puede definirse para cualquier acción suave de una Mentira grupo en un colector. Puedo ver como a un natural de mapa de la Mentira de álgebra para el espacio de la tangente en cualquier punto en el colector. La idea es

Elemento en el álgebra de la Mentira -> Curva en la Mentira de grupo a partir de la identidad -> Curva en el colector de partir de un determinado punto de partida en el colector (obtenidos por cada punto de la curva en el grupo de act en el punto dado en el colector) -> vector velocidad de la curva en el colector en el punto de partida

Otra forma de decir lo mismo es que Si se fija un punto en el colector, el grupo de acción define un suave mapa de la Mentira de grupo para el colector. El diferencial de este mapa, los mapas de la Mentira de álgebra (visto como el espacio de la tangente de la Mentira de grupo en la identidad) para el espacio de la tangente del colector en el punto dado.

Si el colector es una de las principales paquete, entonces la acción es puramente vertical, así que lo único que obtengo son vectores tangente vertical.

Si el director paquete es la Mentira de grupo en un espacio homogéneo, luego de que Matt la discusión se hace cargo. Yo le echo su declaración de que si se supone que el grupo es un grupo de matrices, entonces usted puede encontrar muy agradable fórmulas explícitas para todo.

Pero creo que sólo estoy repitiendo lo que ya se ha dicho.

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viggity Puntos 5342

Mayebe un punto de vista ligeramente diferente: Las fibras de un director de paquetes son diffeomorphic para el grupo $G.$ Si fijamos la imagen $p$$e\in G,$, entonces existe un natural diffeomorphism: $g\in G\mapsto pg.$ La tangente paquete de la Mentira de Grupo es trivial (por la traducción correcta): $TG=G\times g.$ por lo Tanto, el espacio de la tangente de las fibras es trivial, también, a través de la anterior diffeomorphism. Resulta que esta trivialización no depende de $p$ (mayebe se debe tomar a la izquierda de la traducción en $G$ en lugar de a la derecha). La fundamental vectorfields son los campos vectoriales correspondientes a esta trivialización.

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beggs Puntos 351

Querido Steve Cazador, me parece que la noción de vector fundamental de campo está bien definido no sólo por $G$-director paquete pero incluso para cualquier $G$-colector, es decir, un colector con una acción por parte de una Mentira grupo $G$.

Acerca de su nocional ecuación, yo diría que lo fundamental en campos vectoriales efectivamente surgir a partir de una acción de $\frak{g}$$M$. Sin embargo, algunas aclaraciones son necesarias.

Deje $\Psi:M\times G\to M$ ser un derecho de acción de una Mentira grupo $G$ en un colector $M$.
Deje $\frak{g}$ ser la Mentira de álgebra de $G$, considerado como el formado por la izquierda invariante vectorfields en $G$.

Entonces existe un único mapa $\zeta^{\Psi}\equiv\zeta:X\in\frak{g}\to \zeta_X\in\frak{X} (M)$ tal que $(T\psi)\circ(0_M+X)=\zeta_X\circ\Psi$, $\zeta_X$ y $0_M+X$ $\Psi$- relacionados, por cualquier $X\in\frak{g}$.(Por encima de $0_M$ denota el cero vectorfield en $M$.)
Para cualquier $X\in\frak{g}$, el campo de vectores $\zeta_X$ $M$ es el llamado fundamental vectorfield correspondiente a $X$ w.r.t. el derecho de acción $\Psi$.

La definición de $\zeta$ está bien planteado, porque, para cualquier $X\in\frak{g}$, el mapa de $T\Psi\circ(0_M+X)$ es constante en las fibras de $\Psi$; y esto tiene que ser $\Psi$ un derecho de acción y $X$ a la izquierda invariante vectorfield.

Obviamente, las siguientes propiedades son satisfechos:

  • $\zeta_{aX+bY}=a\zeta_X+b\zeta_Y,\zeta_{[X,Y]}=[\zeta_X,\zeta_Y]$, para cualquier $a,b\in\mathbb{R}$, e $X,Y\in\frak{g}$, es decir, $\zeta:\frak{g}\to\frak{X} (M)$ es una Mentira álgebra homomorphism;
  • $\zeta_X$ es completo y de su $t$-tiempo de flujo es $\Psi^{\exp{tX}}$, para cualquier $X\in\frak{g}$$t\in\mathbb{R}$.

Para un resumen de la Mentira de álgebra $\frak{g}$, una acción de $\frak{g}$ en un colector $M$ está definido para ser una Mentira álgebra homomorphism de$\frak{g}$$\frak{X} (M)$.
De tal manera por cualquier derecho de acción $\Psi$ de una Mentira grupo$G$$M$, $\zeta^{\Psi}$ es una acción en $M$ por la Mentira de álgebra de $G$.

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Nauman Puntos 101

Si usted tiene un espacio homogéneo $X$ con estructura de grupo $G$ (en su caso, la fibra pasa a través de $p$), a continuación, a la izquierda de la multiplicación de darle una buena acción $L: X \times G \to X$. Luego de un fijo $p \in X$, $L(p) : G \to X$. El diferencial de este tipo es un mapa de $L(p)_* : TG \to TX$, lo que lleva a un elemento de $T_gG$ a un elemento de $T_{g \cdot p} X$. En $g = 1$, esto significa que usted obtiene un mapa de $L(p)_* : \mathfrak{g} \to T_pX$. Esta es en realidad una representación de $\mathfrak{g}$ en el espacio de campos vectoriales en $X$, y heredará agradable propiedades en función de lo bonito de la acción de la $G$ $X$ es.

Este mapa $L(p)_*$ es precisamente el fuerte de mapa de describir: se toma un elemento $\xi$ $\mathfrak{g}$ y da a un campo de vectores en $X$, lo que coincide con infinitesimal de la multiplicación por $\xi$. En su caso, $G$ actúa libremente por lo $X$ se ve como una copia de $G$.

Si $G$ realmente tiene una buena representación de la matriz, a continuación, desenrollar las definiciones, usted encontrará que usted realmente puede escribir su ecuación $A^\sharp(p) = A \cdot p$. Por ejemplo, veamos cómo el infinitesimal generadores de $\mathfrak{so}(3)$ actúa sobre los puntos de la unidad de la esfera por la multiplicación --- vas a ver fácilmente los campos vectoriales cuyos flujos se $\exp(\xi t)$.

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