Deje $\pi:P \rightarrow M$ principal $G$-bundle, y deje $A \in \mathfrak{g}$, donde la Mentira álgebra de $G$ está indicado. El campo fundamental $A$# se utiliza para definir las conexiones está dada por
$A$#$(p) := \frac{d}{dt}(\exp(At)p)|_{t=0}$.
$A$# está bien definido desde $e^{At}p$ puede ser considerado como un vector en un $\pi^{-1}(\pi(p))$. Intuitivamente, trato de pensar de $A$# como (vertical) la dirección de desplazamiento en la fibra generado por $A$.
Por la definición de propiedades de los principales paquetes (en particular, la acción libre de $G$), tenemos $\{A$# $: A \in \mathfrak{g}\} \simeq \mathfrak{g} \simeq \mathcal{V}(p)$ donde $\mathcal{V}(p)$ es la vertical subespacio en $p$. Algo como
$A$#$(p) = \lim_t t^{-1}(e^{At}p - p) = A \cdot p$
sería (para mí) una buena manera de pensar acerca de la $A$#$(p)$, excepto que esta es (en el mejor), una igualdad formal. Más precisamente, $L_{\exp(At)}$ es el parámetro 1-el grupo de diffeomorphisms generado por $A$#, donde $L_g$ indica a la izquierda la multiplicación por $g$.
Mi pregunta: ¿hay una mejor manera de pensar acerca de un campo fundamental de lo que (ya sea la propia definición) o el importe de la ecuación anterior?